Tutta la teoria delle trasformate ha, come scopo generale, quello di trasformare funzioni in ingresso, in modo da ottenere funzioni di uscita che siano, in un certo senso, più maneggevoli per gli scopi del problema in oggetto.<\/p>\n
Vi sono vari modi per trasformare funzioni, adatti a seconda del problema originario. Per le equazioni differenziali molto utili risultano le trasformate di Fourier e di Laplace, quest’ultima in particolare è assai utile anche per le equazioni integrali.<\/p>\n
La trasformata di Hilbert<\/em> di una funzione f è definita come la funzione H(f) data da<\/p>\n H(f)(t) = 1 \/ π ∫R<\/sub><\/strong> f(s) \/ (t – s) ds<\/p>\n dove l’integrale è inteso nel senso del valore principale. La trasformata di Hilbert è quindi un prodotto di convoluzione tra f e la funzione 1 \/ (π t).<\/p>\n La proprietà più importante che la trasformata di Hilbert possiede, dalla quale deriva in parte la sua utilità in teoria dei segnali, è il fatto che "shifta" di π\/2 o -π\/2 la fase di un segnale in ingresso; ad esempio la trasformata di Hilbert della funzione cos(ωt) è la funzione sen(ωt). In teoria dei segnali questa coppia (f,H(f)) costituisce un cosidetto segnale forte<\/em> (strong analytic signal<\/em>).<\/p>\n Per capire da dove ha origine la trasformata di Hilbert e quindi capire quale sia la sua utilità occorre fare un’analogia con l’analisi complessa. Se f è analitica su un aperto in C <\/strong>che contiene una curva c chiusa allora sappiamo che se a è un punto interno alla curva c allora la formula di Cauchy dice che<\/p>\n 2 π i f(a) = ∫c<\/sub> f(z) \/ (z – a) dz.<\/p>\n Se f è analitica in una regione che contiene il sempiano Im z ≥ 0 e tende a 0 quando |z| → + ∞ abbastanza velocemente allora<\/p>\n ∫R<\/sub><\/strong> f(s) \/ (t – s) ds = π i f(t). (1)<\/p>\n Se quindi f = g – i h si ha<\/p>\n g = – H(h) e h = H(g).<\/p>\n Dunque H(Re f) = – Im f. Per il segnale f si tratta quindi di una proprietà notevole; un segnale f che soddisfa la (1) viene appunto detto strong analytic signal.<\/p>\n La trasformata di Hilbert possiede poi altre proprietà di carattere più matematico, in analogia alla trasformata di Fourier. Quanto sopra brevemente descritto racchiude le proprietà essenziali che motivano l’importanza della trasformata di Hilbert.<\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[68],"tags":[],"class_list":["post-2717","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2717","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2717"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2717\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2717"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2717"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2717"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}