{"id":2715,"date":"2006-09-28T00:00:00","date_gmt":"2006-09-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2715","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2715\/","title":{"rendered":"Come si effetua l’integrazione per sostituzione?"},"content":{"rendered":"

Capita spesso che per il calcolo di un integrale (definito) si debba operare un cambiamento di variabile; si necessita dunque di capire come effettuare questa delicata operazione.
Supponiamo di avere una funzione f : [a,b] → R<\/span> continua (dunque integrabile); ci proponiamo di calcolare il valore <\/p>\n

∫[a,b] <\/sub>f(x)dx.<\/p>\n
In molti casi pu\u00f2 essere molto utile operare un cambiamento di variabile, ovvero porre x=φ(t), dove φ \u00e8 una certa funzione continua su un certo intervallo [c,d], e derivabile in (c,d). Supponiamo anche che si abbia la condizione di compatibilit\u00e0 (naturale da chiedersi)<\/p>\n
φ([c,d]) ⊆ [a,b].<\/p>\n
In tali condizioni si ha che<\/p>\n
∫[φ(c),φ(d)]<\/sub> f(x)dx=∫[c,d]<\/sub> f(φ(t)) φ'(t)dt. (1)<\/p>\n
Infatti sia F(x) una primitiva di f(x); allora la funzione F(φ(t)) \u00e8 una primitiva di f(φ(t))φ'(t) in tutto [c,d]. Allora si ha, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, <\/p>\n
\n
∫[φ(c),φ(d)]<\/sub> f(x)dx=F(φ(d))-F(φ(c)),<\/div>\n
∫[c,d]<\/sub> f(φ(t)) φ'(t)dt=F(φ(d))-F(φ(c)).<\/div>\n

<\/p>\n

La formula di cambiamento assume una forma ancora pi\u00f9 generale se richiediamo che la funzione φ si anche iniettiva; in tal caso infatti essa diventa:<\/p>\n
∫[a,b]<\/sub> f(x)dx=∫[φ-1<\/sup>(a),φ-1<\/sup>(b)]<\/sub> f(φ(t)) φ'(t)dt. (2)<\/p>\n
Mostriamo due esempi di applicazione delle formule riportate.<\/p>\n

Esempio 1: <\/span>Sia da calcolare l’integrale <\/p>\n

∫[0,1]<\/sub> √(1-x2<\/sup>)dx.<\/p>\n
Poniamo φ : [0,π\/2] → R<\/span> data da φ(t)=sen t; allora in base alla formula (1) si ha, essendo φ(0)=0 e φ(π\/2)=1, <\/p>\n
∫[0,1]<\/sub> √(1-x2<\/sup>)dx=∫[0,π\/2]<\/sub> √(1-sen2<\/sup>t)cost dt=∫[0,π\/2]<\/sub> cos2<\/sup>t dt=π\/4,<\/p>\n
dove l’ultimo integrale \u00e8 un tipico integrale da calcolare mediante l’integrazione per parti. <\/p>\n

Esempio 2: <\/span>Sia da calcolare l’integrale <\/p>\n

∫[0,1]<\/sub> [(ex<\/sup>) \/ (ex<\/sup> +1)] dx.<\/p>\n
Verrebbe spontaneo utilizzare la sostituzione ex<\/sup>=t; poniamo quindi x=φ(t)=log t, con φ : [1,e] → R<\/span>, in modo tale che si abbia ex<\/sup>=t. Allora φ \u00e8 iniettiva e si ha φ-1<\/sup>(0)=1, φ-1<\/sup>(1)=e, per cui per la (2) si ha<\/p>\n
\n
∫[0,1]<\/sub> [(ex<\/sup>) \/ (ex<\/sup> +1)] dx=∫[1,e]<\/sub> [t \/ (t +1)]1\/t dt<\/div>\n

<\/p>\n

essendo φ'(t)=1\/ t. Ci siamo quindi ricondotti al calcolo dell’integrale<\/p>\n
∫[1,e]<\/sub> [1 \/ (t +1)] dt=[log (t+1)][1,e]<\/sub>=log [(e+1)\/2].<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n


<\/div>\n<\/div>\n

<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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