{"id":2712,"date":"2006-09-28T00:00:00","date_gmt":"2006-09-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2712","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2712\/","title":{"rendered":"Come \u00e8 definita una funzione Lipschitziana?\r\n\r\nCome si risolve l’equazione differenziale del moto armonico?"},"content":{"rendered":"

Le due domande apparentemente slegate tra loro sono in realt\u00e0 intimamente legate, in quanto la lipschitzianit\u00e0 \u00e8 la componente essenziale del celebre Teorema di esistenza e unicit\u00e0 per un sistema di equazioni differenziali ordinarie.<\/p>\n

Una funzione f : R <\/span>-> R <\/span>(per semplicit\u00e0 diamola definita dappertutto) si dice lipschitziana <\/span>se esiste L>0 tale che <\/p>\n

|f(x)-f(y)| ≤L|x-y| per ogni x,y ∈R<\/span>.<\/p>\n
Sostanzialmente si sta richiedendo che i rapporti incrementali siano limitati. Ci\u00f2 fornisce una interpretazione geometrica della lipschitzianit\u00e0: una funzione lipschtiziana \u00e8 una funzione che ha “derivata limitata”, anche se possono esserci funzioni lipschitziane che non sono derivabili (es. f(x)=|x|).<\/p>\n

Dato un’equazione (o pi\u00f9 in generale un sistema) differenziale ordinaria y'(x)=f(x,y(x)), con x ∈I<\/span>, il Teorema di esistenza ed unicit\u00e0 locale afferma che se f \u00e8 una funzione continua e localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile, ovvero esiste L>0 tale per cui |f(x,y1<\/sub>)-f(x,y2<\/sub>)| ≤L|y1<\/sub>-y2<\/sub>| per ogni x in un intorno di x0<\/sub> e y1<\/sub>,y2<\/sub>in un intorno di y0<\/sub>, allora l’equazione data ammette una ed una sola soluzione locale tale per cui y(x0<\/sub>)=y0<\/sub> (cio\u00e8 definita in un intorno di x0<\/sub>).<\/p>\n

Tale Teorema si applica con successo all’equazione del moto armonico, data da un’equazione lineare del secondo ordine del tipo<\/p>\n

y”(x)+ky(x)=0, x ∈I<\/span>, k>0.<\/p>\n
In realt\u00e0 tale equazione \u00e8 del secondo ordine, mentre il Teorema enunciato vale per problemi del primo ordine; quello che si pu\u00f2 dimostrare \u00e8 che ogni equazione differenziale ordinaria di ordine n \u00e8 equivalente ad un sistema di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Vediamo come nel nostro caso: sia z(x)=y'(x). Allora l’equazione data pu\u00f2 essere riscritta come z'(x)+ky(x)=0, affiancata dunque dall’equazione y'(x)-z(x)=0. Ecco che abbiamo ottenuto un sistema di due equazioni del primo ordine, nelle due incognite y(x) e z(x). In forma vettoriale si pu\u00f2 anche scrivere <\/p>\n
(y(x),z(x))’=(z(x),-ky(x)),<\/p>\n
dunque la funzione f in tal caso vale f(x,y,z)=(z,-ky) che \u00e8 localmente lipschitziana rispetto alle due variabili y e z. Facciamo infine notare che la condizione iniziale per avere unicit\u00e0 della soluzione diventa una doppia condizione: infatti occorre assegnare y(x0<\/sub>) e y'(x0<\/sub>).<\/p>\n

Quanto alla risoluzione esplicita dell’equazione, essa deriva da considerazioni fisiche. Supponiamo di voler studiare il moto di un corpo collegato ad una molla giacente su una retta che esercita una forza attrattiva Fe<\/sub>=-ky, con k>0 e y distanza del corpo dall’origine. Allora per il secondo principio della dinamica si ha <\/p>\n

my”(t)=-ky(t).
<\/div>\n

Ovvero y”(t)+k\/m y(t)=0, che \u00e8 un’equazione del secondo ordine. Quello che ci aspettiamo \u00e8 che tale equazione abbia soluzioni periodiche, del tipo funzioni circolari. In effetti un conto diretto mostra che tutte le funzioni<\/p>\n

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y(t)=c sen[x√(k\/m)+φ], c,φ costanti arbitrarie,<\/p>\n
sono soluzioni. Infatti si ha <\/p>\n
y'(t)=c cos[x√(k\/m)+φ]√(k\/m)<\/p>\n
mentre<\/p>\n
y”(t)=-c sen[x√(k\/m)+φ](k\/m).<\/p>\n
Quindi si ha y”(t)+k\/m y(t)=-c sen[x√(k\/m)+φ](k\/m)+k\/m c sen[x√(k\/m)+φ]=0. Imponendo ora due condizioni iniziali della forma (per esempio) y(0)=y0<\/sub> e y'(0)=v0<\/sub> (assegnare quindi posizione iniziale e velocit\u00e0 iniziale) \u00e8 possibile determinare i valori delle costanti c e φ e cos\u00ec determinare l’equazione del moto, il quale viene detto armonico semplice.<\/span> Per quanto visto in astratto l’equazione data affiancata alle condizioni iniziali deve avere un’unica soluzione, per cui l’unica soluzione \u00e8 quella trovata.<\/p>\n

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