{"id":2704,"date":"2006-09-28T00:00:00","date_gmt":"2006-09-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2704","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2704\/","title":{"rendered":"E’ possibile usare i teoremi dell’analisi complessa validi per funzioni complesse C–>C anche per funzioni da R–>C? Quali sono i requisiti?"},"content":{"rendered":"

Rispondo subito dicendo no: non \u00e8 possibile usare i risultati dell’Analisi complessa per funzioni definite su R<\/span> o un suo sottoinsieme.<\/p>\n

La propriet\u00e0 di base infatti in Analisi complessa \u00e8 l’olomorfia di una funzione, che \u00e8 una propriet\u00e0 che ha senso se e solo se la funzione stessa \u00e8 definita su C<\/span> o su un suo sottoinsieme aperto. Quindi restringendosi ad R<\/span> cade tutta la trattazione della derivabilit\u00e0 in senso complesso, ovvero si riduce a quella in senso reale.
Il tutto indipendetemente dal fatto che la funzione abbia valori in C<\/span> od in R<\/span>. Infatti ricordo che una funzione definita su un aperto di C<\/span> si dice derivabile in senso complesso in z0<\/sub> se esiste il limite per h -> 0 del rapporto incrementale <\/p>\n

[f(z0<\/sub>+h)-f(z0<\/sub>)] \/ h.<\/p>\n
Tale definizione ricade nella definizione usuale di derivata in senso reale se la funzione f \u00e8 definita su R<\/span>, dal momento che non \u00e8 possibile dare ad h un valore che non sia reale. Il punto che distingue la derivabilit\u00e0 in senso reale da quella in senso complesso sta proprio qua: in senso reale h pu\u00f2 variare solo in “una direzione”, mentre in senso complesso h pu\u00f2 tendere a 0 lungo diverse direzioni, in particolare rimanendo reale, oppure rimanendo immaginario puro. Questa particolarit\u00e0 crea conseguenze abbastanza rilevanti per una funzione derivabile in senso complesso, conseguenze che non valgono per funzioni che invece sono solo derivabili su R<\/span>. Ad esempio le funzioni derivabili in senso complesso sono analitiche (sviluppabili in serie di potenze) cosa ovviamente falsa nel caso reale, od ancora se una funzione derivabile in senso complesso \u00e8 definita su un aperto limitato ed \u00e8 continua fino al bordo, allora il suo valore al bordo determina univocamente ogni valore della funzione all’interno del dominio (formula integrale di Cauchy), anche questa cosa assolutamente non vera nel caso reale.
<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2704","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2704","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2704"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2704\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2704"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2704"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2704"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}