{"id":2685,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2685","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2685\/","title":{"rendered":"Come si dimostra che i numeri algebrici formano un insieme numerabile? Grazie per la risposta."},"content":{"rendered":"<p>I numeri algebrici, per definizione, sono quei numeri reali che sono radici di un polinomio a coefficienti interi. Essi formano un sottoinsieme numerabile di <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span>; dunque il complementare \u00e8 un insieme non numerabile, l&#8217;insieme dei numeri trascedenti.<\/p>\n<p><span style=\"font-style: italic;\">Dimostrazione. <\/span>Cerchiamo di numerare i numeri algebrici; consideriamo un&#8217;equazione algebrica a coefficienti interi della forma <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">a(x)=a<sub>0<\/sub>+a<sub>1<\/sub>x+a<sub>2<\/sub>x<sup>2<\/sup>+&#8230;+a<sub>n<\/sub>x<sup>n<\/sup>.<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">Sia |a|=n+|a<sub>0<\/sub>|+|a<sub>1<\/sub>|+&#8230;+|a<sub>n<\/sub>|. Evidentemente risulta |a| &#8712; <span style=\"font-weight: bold;\">N<\/span>; inoltre per ogni m &#8712; <span style=\"font-weight: bold;\">N <\/span>esiste un numero finito di polinomi a(x) tali per cui |a|=m. Dal momento che l&#8217;equazione a(x)=0 pu\u00f2 avere al massimo n radici distinte, avremo al massimo n numeri algebrici per ogni equazione. <br \/>Dunque enumeriamo i numeri algebrici in questo modo: prima quelli derivanti da tutte le equazioni a(x)=0 con |a|=1, poi tutti quelli con |a|=2, e cos\u00ec via, ottenendo la numerazione voluta dei numeri algebrici.<br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-2685","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2685","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2685"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2685\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2685"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2685"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2685"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}