Il discorso equazioni differenziali \u00e8 un discorso molto delicato, e va detto subito che un’equazione differenziale, in generale, non si risolve esplicitamente. <\/p>\n
Quello che per\u00f2 \u00e8 importante, in Matematica, non \u00e8 avere una soluzione esplicita per l’equazione, bens\u00ec avere un Teorema che garantisca esistenza e, in certi casi, unicit\u00e0 della soluzione. Infatti questo basta, ma \u00e8 necessario, per applicare i vari metodi numerici che consentono di avere un’approssimazione della soluzione.<\/p>\n
Per quanrto riguarda sistemi di equazioni ordinarie (ovvero sistemi di equazioni differenziali in cui l’incognita \u00e8 una funzione definita su un intervallo reale) esiste il Teorema di esistenza ed unicit\u00e0 locale di Cauchy, che afferma, sotto certe ipotesi non troppo restrittive, che esiste ed \u00e8 unica la soluzione. Per quanto riguarda il discorso equazioni alle derivate parziali la teoria \u00e8 molto pi\u00f9 complessa, e non esiste un Teorema generale che afferma l’esistenza ed unicit\u00e0 di una equazione alle derivate parziali. Basti pensare che oggi la ricerca matematica in Analisi \u00e8 quasi totalmente finalizzata alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Spesso tali equazioni “provengono” da un funzionale energia, per il quale i punti di minimo sono soluzioni dell’equazione stessa (metodi variazionali) oppure ancora equazioni di “evoluzione” ovvero equazioni in cui \u00e8 privilegiata una variabile tra tutte, che \u00e8 appunto il tempo.<\/p>\n Infine le equazioni alle differenze sono della forma F(yn+1<\/sub>,…,yn+k<\/sub>)=0, e si cerca una soluzione yn<\/sub> che \u00e8 quindi una successione. Vale un po’ anche qui lo stesso discorso fatto per le equazioni differenziali; molto raramente anche in tal caso si trova una soluzione esplicita, e i metodi numerici la fanno da padrone per avere una soluzione approssimata. Quindi anche in tal caso ci si appoggia, teoricamente, a Teoremi di carattere generale che forniscano esistenza ed unicit\u00e0 della soluzione. Va sottolineato, per altro, che le equazioni alle differenze appaiono di per s\u00e8 gi\u00e0 in contesti di Analisi numerica, dal momento che la maggior parte di quelle studiate deriva da discretizzazioni di equazioni differenziali.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2680","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2680","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2680"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2680\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2680"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2680"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2680"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
Per esempio, per una singola equazione y'(x)=f(x,y), le ipotesi del Teorema sono: f continua e localmente lipschitiziana rispetto alla variabile y. Sotto tali condizioni l’equazione ammette una sola soluzione y=y(x) che verifica una condizione inizialmente imposta y(x0<\/sub>)=y0<\/sub>.<\/p>\n