Il termine non linearit\u00e0 sta ad indicare la presenza di oggetti non lineari in un problema matematico.
Solitamente si parla di non linearit\u00e0 in un’equazione differenziale, dal momento che parlare di non linearit\u00e0 in un’equazione algebrica vorrebbe dire parlare di praticamente tutte le equazioni, escluso il primo grado.<\/p>\n
Un’equazione differenziale lineare \u00e8 della forma Lu=f, dove L \u00e8 un operatore differenziale lineare che agisce sull’incognita u, ed f \u00e8 una funzione nota. Trattare con equazioni lineari \u00e8 molto spesso decisivo per la risoluzione (teorica) dell’equazione stessa; infatti tantissima teoria delle equazioni alle derivate parziali (per le equazioni ordinarie il Teorema di esistenza ed unicit\u00e0 locale non si preoccupa delle non linearit\u00e0) funziona con successo se le equazioni sono lineari, dal momento che si riesce a ricondursi a Teoremi di esistenza di carattere generale validi per operatori o funzionali lineari. I problemi si complicano quando si trovano equazioni non lineari; allora la teoria diventa pi\u00f9 debole. […]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[68],"tags":[],"class_list":["post-2674","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2674","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2674"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2674\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2674"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2674"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2674"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
Un operatore si dice lineare se L(αu+βv)=αL(u)+βL(v) per ogni coppia di scalari (α,β) e per ogni u,v funzioni nel dominio dell’operatore L.
Ad esempio l’equazione differenziale ordinaria u”+4u’=x \u00e8 lineare, ed ancora l’equazione ∂u\/∂x=x+y \u00e8 un’equazione alle derivate parziali lineare. L’equazione u’+u2<\/sup>=0 non \u00e8 un’equazione lineare, dal momento che l’operatore L(u)=u’+u2<\/sup> non \u00e8 un operatore lineare.<\/p>\n
Ad esempio, una tecnica molto usata \u00e8 quella di semplificare un problema, approssimandolo con uno pi\u00f9 facile; risolvere quindi il problema approssimato e cercare, con un’operazione di limite, di recuperare la soluzione del problema di partenza. Questo schema di carattere del tutto generale ha successo soprattutto se uno sceglie la “convergenza giusta” per passare al limite; e molto spesso le convergenze buone e utili sono quelle che passano al limite su oggetti lineari, ad esempio le convergenze deboli in spazi di funzioni.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"