{"id":2668,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2668","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2668\/","title":{"rendered":"Salve! Mi chiedevo come si dimostra che le derivate parziali di una funzione non dipendono dall’ordine con cui vengono scelte le variabili rispetto a cui derivare (cio\u00e8 per esempio che f”xy = f”yx). Grazie!"},"content":{"rendered":"

Consideriamo solo il caso esposto dall’autore, ovvero il caso di una funzione reale definita su un aperto A di R<\/span>2<\/sup>. Sia quindi f=f(x,y) di classe C2<\/sup>(A); allora vale D1<\/sub>D2<\/sub>f(x,y)=D2<\/sub>D1<\/sub>f(x,y) per ogni x,y ∈A.<\/p>\n

Dimostrazione. <\/span>Mostriamo che fissato ε>0 e (x0<\/sub>,y0<\/sub>) ∈ A si ha |D1<\/sub>D2<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)-D2<\/sub>D1<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)|<2ε. Sia\u00a0δ>0 tale che posto x1<\/sub>=x0<\/sub>+δ e y1<\/sub>=y0<\/sub>+δ con I=[x0<\/sub>,x1<\/sub>] e J=[y0<\/sub>,y1<\/sub>] si abbia |D1<\/sub>D2<\/sub>f(x,y)-D1<\/sub>D2<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε e |D2<\/sub>D1<\/sub>f(x,y)-D2<\/sub>D1<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε per ogni (x,y)\u00a0∈ I x J (ci\u00f2 segue dalla continuit\u00e0 delle derivate seconde miste). Consideriamo <\/p>\n

R=[f(x1<\/sub>,y1<\/sub>)-f(x0<\/sub>,y1<\/sub>)-f(x1<\/sub>,y0<\/sub>)+f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)] \/ δ2<\/sup>;<\/p>\n
Se dimostriamo che |R-D1<\/sub>D2<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε e |R-D2<\/sub>D1<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε abbiamo finito.
Consideriamo allo scopo la funzione φ(t)=f(x1<\/sub>,t)-f(x0<\/sub>,t), t ∈ J; per il Teorema di Lagrange esiste η ∈ J tale che <\/p>\n
[φ(y1<\/sub>)-φ(y0<\/sub>)] \/ δ=φ'(η)=D2<\/sub>f(x1<\/sub>,η)-D2<\/sub>f(x0<\/sub>,η).<\/p>\n
Sia ψ(t)=D2<\/sub>f(t,η), t ∈ I, per il Teorema di Lagrange esiste ξ ∈ I tale che<\/p>\n
[D2<\/sub>f(x1<\/sub>,η)-D2<\/sub>f(x0<\/sub>,η)] \/\u00a0δ=[ψ(x1<\/sub>)-ψ(x0<\/sub>)] \/ δ=ψ'(ξ)=D1<\/sub>D2<\/sub>f(ξ,η).<\/p>\n
Dunque si ha<\/p>\n
R=[φ(y1<\/sub>)-φ(y0<\/sub>)] \/ δ2<\/sup>=[D2<\/sub>f(x1<\/sub>,η)-D2<\/sub>f(x0<\/sub>,η)] \/\u00a0δ=D1<\/sub>D2<\/sub>f(ξ,η).<\/p>\n
E’ quindi mostrato che |R-D1<\/sub>D2<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε, che segue dalla precedente e da |D1<\/sub>D2<\/sub>f(x,y)-D1<\/sub>D2<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε.
La verifica di |R-D2<\/sub>D1<\/sub>f(x0<\/sub>,y0<\/sub>)| <\u00a0ε \u00e8 analoga.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2668","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2668","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2668"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2668\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2668"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2668"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2668"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}