{"id":2665,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2665","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2665\/","title":{"rendered":"come faccio a stabilire se un dato campo vettoriale \u00e8 gradiente, e in caso affermativo determinarne uno scalare?"},"content":{"rendered":"

La domanda appare imprecisa nella formulazione; un campo vettoriale pu\u00f2 essere il gradiente di una funzione scalare, ed in tal caso tale funzione si dice potenziale<\/span> del campo stesso.<\/p>\n

Un campo vettoriale F: R<\/span>n<\/sup> → R<\/span>n<\/sup> si dice conservativo <\/span>se esiste φ: R<\/span>n<\/sup>→ R<\/span> regolare tale che F=∇φ.<\/p>\n

Per il Lemma di Schwartz (uguaglianza delle derivate seconde miste) se F \u00e8 un campo conservativo e di classe C1<\/sup>, allora vale l’uguaglianza delle derivate in croce; ovvero (in R<\/span>2<\/sup>) dette F1<\/sub> ed F2<\/sub> le due componenti scalari di F si ha <\/p>\n

∂F1<\/sub>\/∂y=∂F2<\/sub> \/∂x.<\/p>\n
Tale condizione \u00e8 solo necessaria per la conservativit\u00e0 del campo, a meno che il campo F sia definito e regolare su un insieme semplicemente connesso (“un connesso senza buchi”). Allora in tal caso la condizione dell’uguaglianza delle derivate in croce diventa sufficiente per la conservativit\u00e0 di F. Per esempio un campo F definito e regolare su tutto R<\/span>2<\/sup> \u00e8 conservativo se e solo se vale l’uguaglianza delle derivate in croce, essendo tutto lo spazio semplicemente connesso.<\/p>\n

Nel caso di campo conservativo, per determinare un potenziale si procede usando la definizione: F=∇φ da cui, sempre nel caso di due variabili reali,<\/p>\n

F1<\/sub>=∂φ\/∂x e F2<\/sub>=∂φ\/∂y.<\/p>\n
Basta quindi integrare, per esempio, la prima: F1<\/sub>=∂φ\/∂x; si trova φ(x,y)=∫F1<\/sub>(x,y)dx+c(y), con c funzione della sola variabile y. Finalmente imponendo F2<\/sub>=∂φ\/∂y si trova la funzione c=c(y).<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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