{"id":2662,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2662","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2662\/","title":{"rendered":"Vorrei gentilmente avere una spiegazione il pi\u00f9 possibile intuitiva seppur rigorosa sulla teoria della misura e sulla misurabilit\u00e0o no di un insieme e di una funzione. Con tale teoria si riesce forse a spiegare il fatto per cui un segmento ha una lunghezza pur essendo costituito da punti i quali singolarmente hanno misura nulla non avendo dimensione?"},"content":{"rendered":"

La teoria della misura nasce per la necessit\u00e0 del calcolo degli integrali multipli attraverso un metodo pi\u00f9 furbo e funzionale dell’integrazione di Riemann, che \u00e8 l’integrazione di Lebesgue.
Detto in parole povere per il calcolo dell’integrale di Lebesgue si affetta la regione di piano sottesa dal grafico di una funzione (di una variabile) per orizzontali e non per verticali; ci\u00f2 rende molto pi\u00f9 flessibile la definizione specie per le funzioni che non sono continue. C’\u00e8 per\u00f2 lo svantaggio che tale metodo richiede di saper misurare insiemi a priori arbitrari nel dominio della funzione. Se quindi siamo in dimensione maggiore di 1 la cosa si fa molto pi\u00f9 delicata, in quanto bisogna trovare una “funzione” che misuri gli insiemi, ovvero che restituisca la lunghezza se un insieme \u00e8 una curva, la sua area se l’insieme \u00e8 una superficie, il volume se l’insieme ha un’estensione tridimensionale, ecc…
Tale funzione \u00e8 la misura di Hausdorff<\/span>, che viene detta anche misura di Lebesgue<\/span> nel caso particolare in cui la dimensione dello spazio coincide con la dimensione della misura che viene calcolata. Ad esempio in R<\/span>3<\/sup> un\u00a0 insieme pu\u00f2 avere misura di Hausdorff di dimensione 1 finita non nulla, e quindi si tratta di una “curva”; oppure pu\u00f2 avere misura di Hausdorff di dimensione 2 finita non nulla, e allora sar\u00e0 una “superficie”. Infine potrebbe avere misura su Hausdorff di dimensione 3 finita non nulla, che coincide quindi con la sua misura di Lebesgue.<\/p>\n

In base a tutto ci\u00f2 si definisce anche la dimensione di Hausdorff, che \u00e8 appunto 1 per le curve, 2 per le superfici, ecc… Un segmento viene ad avere dimensione di Hausdorff 1, ha una lunghezza finita, pur essendo in un certo senso trascurabile, se immerso in uno spazio di dimensione pi\u00f9 elevata.<\/p>\n

Con la teoria della misura di Hausdorff si trattano in modo relativamente facile integrali di linea, di superficie, di volume, doppi, ecc…: occoorrono almeno due requisiti: la misurabilit\u00e0 del dominio (quasi sempre soddisfatta, costruire un insieme non misurabile \u00e8 molto difficile, e l’insieme stesso \u00e8 molto strano) e la misurabilit\u00e0 delle funzioni: una funzione reale \u00e8 misurabile quando i suoi sottolivelli lo sono, ovvero gli insiemi f-1<\/sup>(c,+∞) sono misurabili. Si vede subito l’importanza di ci\u00f2 per il calcolo integrale: tali sottolivelli sono le controimmagini di un affettamento della regione sottesa dal grafico, per cui per integrare secondo Lebesgue tali insiemi debbono essere misurabili.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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