{"id":266,"date":"2003-03-10T00:00:00","date_gmt":"2003-03-09T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"266","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/266\/","title":{"rendered":"Vorrei avere una breve classificazione dei numeri, o per meglio dire una lista delle tipologie di numeri con significato e caratteristiche e la loro collocazione per insiemi e sottoinsiemi."},"content":{"rendered":"

Il sistema di numeri pi\u00f9 semplice \u00e8 quello dei
\nnumeri naturali<\/i>, che si possono pensare derivati dalla
\nnecessit\u00e0 di “contare” oggetti.\u00a0 I numeri naturali ammettono di essere
\nsommati (m<\/i>\u00a0+\u00a0n<\/i>) e moltiplicati fra loro (mn<\/i>):
\nrimanendo nella metafora del contare, somma e prodotto esprimono
\nrispettivamente quello che accade mettendo assieme due gruppi di m<\/i> e
\nn<\/i> oggetti oppure disponendo degli oggetti in m<\/i> file di n<\/i>
\noggetti l’una.\u00a0 Tali operazioni portano naturalmente alla definizione di due
\noperazioni inverse: la sottrazione e la divisione, che per\u00f2 non sempre
\nhanno significato all’interno dell’insieme dei numeri naturali: si pensi, per
\nesempio, alle scritture 5\u00a0–\u00a08\u00a0 oppure\u00a0 12\u00a0:\u00a05.\u00a0 Cercando
\ndi rendere in qualche modo (che forse non vale la pena di spiegare
\nrigorosamente in questa sede) possibili queste operazioni, si pu\u00f2
\nprocedere in due direzioni. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La prima direzione
\n\u00e8 quella dei numeri interi<\/i>, che si ottengono essenzialmente
\nconsiderando i risultati di tutte le possibili sottrazioni tra numeri
\nnaturali.\u00a0 Cos\u00ec, il risultato dell’operazione 12\u00a0–\u00a037
\n\u00e8 un numero intero; il sistema di numeri viene costruito in modo tale
\nche (come \u00e8 logico supporre, visto il significato che vogliamo dare a
\nloro) tale numero intero sia anche risultato dell’operazione
\n41\u00a0–\u00a066 oppure 25\u00a0–\u00a050.\u00a0 Per ogni numero intero, allora,
\n\u00e8 possibile “diminuire” unit\u00e0 per unit\u00e0 le due cifre
\ndella sottrazione (per esempio: 12\u00a0–\u00a037\u00a0\u00a0–>\u00a0
\n11\u00a0–\u00a036\u00a0\u00a0–>\u00a0 10\u00a0–\u00a035\u00a0 e cos\u00ec
\nvia) fino a ottenere una sottrazione del tipo\u00a0 a<\/i>\u00a0–\u00a00\u00a0
\noppure\u00a0 0\u00a0–\u00a0b<\/i>:\u00a0 i numeri del primo tipo vengono indicati
\nsemplicemente con\u00a0 a<\/i>\u00a0 (e in effetti si comportano esattamente come i
\nnumeri naturali) e quelli del secondo tipo vengono indicati con\u00a0 –b<\/i>:\u00a0
\nil risultato dell’operazione\u00a0 12\u00a0–\u00a037\u00a0 si indica allora con\u00a0 -15.\u00a0
\nI numeri del primo tipo si dicono interi positivi<\/i> e sono
\nessenzialmente confondibili con i numeri naturali; quelli del secondo tipo si
\ndicono interi negativi<\/i> e si possono pensare come ci\u00f2 che si
\n\u00e8 “aggiunto” ai numeri naturali per ottenere i numeri interi. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La seconda direzione
\n\u00e8 quella dei numeri razionali assoluti<\/i>, che si ottengono
\nessenzialmente considerando i risultati di tutte le possibili divisioni tra
\nnumeri naturali.\u00a0 (Rapida parentesi: \u00e8 molto dibattuta tra i
\nmatematici l’opportunit\u00e0 di includere o meno lo zero tra i numeri
\nnaturali.\u00a0 Se si decide che lo zero fa parte dei numeri naturali, allora per
\ncostruire i numeri razionali assoluti bisogna considerare soltanto le
\ndivisioni con divisore diverso da zero).\u00a0 Ancora una volta, si comprende che
\nmoltiplicando entrambi i termini di una divisione per uno stesso numero
\ndiverso da zero il risultato della divisione non cambia, cio\u00e8 che il
\nrisultato di 36\u00a0:\u00a024\u00a0 \u00e8 lo stesso di 12\u00a0:\u00a08.\u00a0
\nGrazie al fatto che ogni numero naturale pu\u00f2 essere fattorizzato in
\nmodo unico, all’esistenza del massimo comune divisore tra due numeri naturali
\ne a qualche altra propriet\u00e0 dei numeri naturali stessi, si ragiona
\nallora in questo modo.\u00a0 Data la divisione\u00a0 a<\/i>\u00a0:\u00a0b<\/i>,\u00a0 si
\ncalcola il MCD\u00a0 d<\/i>\u00a0 tra\u00a0 a<\/i>\u00a0 e\u00a0 b<\/i>.\u00a0 Sar\u00e0 allora
\npossibile trovare due numeri\u00a0 p<\/i>\u00a0 e\u00a0 q<\/i>\u00a0 tali che\u00a0
\na<\/i>\u00a0=\u00a0pd<\/i>,\u00a0 b<\/i>\u00a0=\u00a0qd<\/i>;\u00a0 in questa
\nsituazione, il MCD tra\u00a0 p<\/i>\u00a0 e\u00a0 q<\/i>\u00a0 sar\u00e0 per forza 1.\u00a0 Il
\nrisultato dell’operazione\u00a0 a<\/i>\u00a0:\u00a0b<\/i>\u00a0 si indica allora
\n(in forma “ridotta ai minimi termini”) con\u00a0 p<\/i>\u00a0\/\u00a0q<\/i>:\u00a0
\nper esempio, il risultato dell’operazione\u00a0 36\u00a0:\u00a024\u00a0 si indica con\u00a0
\n3\u00a0\/\u00a02.\u00a0 I risultati delle divisioni il cui dividendo \u00e8
\nmultiplo del divisore sono del tutto confondibili con i numeri naturali:
\nanche se non hanno un nome particolare in quanto numeri razionali, le
\nfrazioni corrispondenti si dicono “frazioni apparenti”.\u00a0 Si pu\u00f2 quindi
\npensare ai numeri razionali assoluti e non “apparenti” come ci\u00f2 che si
\n\u00e8 “aggiunto” ai numeri naturali per ottenere i numeri razionali
\nassoluti. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Non \u00e8 difficile
\nverificare che procedendo nella prima direzione non si \u00e8 risolto il
\nproblema della divisione (12\u00a0:\u00a05\u00a0 continua a non avere significato
\nneanche nei numeri interi) e che, allo stesso modo, procedendo nella seconda
\ndirezione non si \u00e8 risolto il problema della sottrazione
\n(5\u00a0–\u00a08\u00a0 continua a non avere significato neanche nei numeri
\nrazionali assoluti).\u00a0 Per risolvere questo problema, si applicano ai
\nrazionali assoluti lo stesso metodo usato per costruire gli interi a partire
\ndai naturali, oppure agli interi lo stesso metodo usato per costurire i
\nrazionali assoluti a partire dai naturali: in entrambi i casi si
\nraggiunger\u00e0 lo stesso sistema di numeri, che viene detto insieme dei
\nnumeri razionali<\/i> (o razionali relativi<\/i>, per sottolineare la
\ndifferenza con i razionali assoluti).\u00a0 Tutte le sottrazioni e tutte le
\ndivisioni con cifre razionali (e divisore diverso da zero) hanno un risultato
\nrazionale.\u00a0 Ancora una volta potremo distinguere frazioni positive o negative
\n(a seconda che si possano scrivere come\u00a0
\np<\/i>\u00a0\/\u00a0q<\/i>\u00a0–\u00a00\u00a0 oppure\u00a0
\n0\u00a0–\u00a0p<\/i>\u00a0\/\u00a0q<\/i>\u00a0 con\u00a0
\np<\/i>\u00a0\/\u00a0q<\/i> razionale assoluto)\u00a0 cos\u00ec come frazioni
\napparenti (quelle il cui risultato \u00e8 intero). <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Ai numeri razionali
\nmanca per\u00f2 ancora una caratteristica importante: la capacit\u00e0 di
\n“descrivere la realt\u00e0”, cio\u00e8 di misurare le grandezze fisiche.\u00a0
\n\u00c8 stato scoperto infatti gi\u00e0 dalla scuola pitagorica che la
\nmisura della diagonale di un quadrato \u00e8 un multiplo non razionale
\ndella misura del lato.\u00a0 Si rende quindi necessario costruire un nuovo sistema
\ndi numeri, i numeri reali<\/i>, che contengano in qualche modo i numeri
\nrazionali e siano in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.\u00a0
\nAnche la costruzione dei numeri reali esula forse dallo scopo di questa
\nlettera; ci\u00f2 che basta dire \u00e8 che il sistema dei numeri reali
\nesiste e contiene al suo interno alcuni numeri particolari che possono essere
\nidentificati con i numeri razionali. Si pu\u00f2 allora pensare che i
\nnumeri rimanenti siano quelli che devono in qualche modo venire “aggiunti” ai
\nnumeri razionali per ottenere i numeri reali: tali numeri vengono detti
\nirrazionali<\/i> (cio\u00e8, appunto, non razionali<\/i>). <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nei numeri reali non
\n\u00e8 per\u00f2 possibile risolvere tutte le equazioni polinomiali.\u00a0 Per
\nesempio, l’equazione x<\/i>2<\/sup>\u00a0+\u00a01\u00a0=\u00a00 non ha
\nnessun risultato reale.\u00a0 Si definiscono allora i numeri complessi<\/i>, che
\nessenzialmente sono numeri della forma\u00a0 a<\/i>\u00a0+\u00a0ib<\/i>\u00a0 dove\u00a0
\na<\/i>\u00a0 e\u00a0 b<\/i>\u00a0 sono numeri reali e\u00a0 i\u00a0 \u00e8 un ente matematico
\nche si decide di considerare un numero “arbitrario” tale che \u00a0
\ni2<\/sup>\u00a0=\u00a0-1.\u00a0 \u00c8 possibile dimostrare che questo
\nsistema di numeri \u00e8 algebricamente chiuso<\/i>, cio\u00e8 tale che
\nogni equazione polinomiale a coefficienti complessi ammette almeno una
\nsoluzione complessa (e quindi, per conseguenza del il teorema di Ruffini,
\nammette un numero di soluzioni complesse pari al suo grado).\u00a0 I numeri della
\nforma\u00a0 0\u00a0+\u00a0ib<\/i>\u00a0 si dicono “immaginari puri”, mentre quelli
\ndella forma\u00a0 a<\/i>\u00a0+\u00a0i0\u00a0 si dicono ancora “reali”.\u00a0 Si noti bene
\nche per\u00f2 i numeri immaginari non<\/u> sono quelli che devono essere
\n“aggiunti” ai reali per ottenere i complessi, perch\u00e9 un numero come\u00a0 2
\n+ 5i,\u00a0 che \u00e8 senz’altro un numero complesso, non \u00e8 n\u00e9
\nreale n\u00e9 immaginario. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Esiste ora un’ulteriore
\ndistinzione, che non riguarda pi\u00f9 i sistemi di numeri ma soltanto una
\npropriet\u00e0 dei numeri stessi: quella tra i numeri algebrici<\/i> e
\ntrascendenti<\/i>.\u00a0 Si dice algebrico<\/i> un numero (reale o complesso)
\nche sia soluzione di un’opportuna equazione polinomiale a coefficienti
\ninteri.\u00a0 Cos\u00ec, per esempio, la radice quadrata di due o la radice
\nquinta di sette sono numeri algebrici, perch\u00e9 sono soluzioni
\nrispettivamente delle equazioni\u00a0
\nx<\/i>2<\/sup>\u00a0–\u00a02\u00a0=\u00a00\u00a0 e\u00a0
\nx<\/i>5<\/sup>\u00a0–\u00a07\u00a0=\u00a00; numeri come\u00a0 e\u00a0 o\u00a0 pi
\ngreco,\u00a0 invece, non sono soluzioni di equazioni a coefficienti interi (anche
\nse questa affermazione \u00e8 decisamente complicata da dimostrare; si
\nveda, per esempio http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=8711<\/a>)
\ne quindi sono numeri trascendenti.\u00a0 Si noti in particolare che un numero
\nreale trascendente deve per forza essere irrazionale, perch\u00e9 ogni
\nnumero razionale della forma\u00a0 p<\/i>\u00a0\/\u00a0q<\/i>\u00a0 \u00e8
\nsoluzione dell’equazione\u00a0 qx<\/i>\u00a0–\u00a0p<\/i>\u00a0=\u00a00\u00a0 ed
\n\u00e8 quindi forzatamente algebrico. In particolare, allora, anche e e
\npi greco devono essere numeri irrazionali. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il lettore chiede poi se
\nesistono anche numeri “non complessi”, ma la risposta a questa domanda
\n\u00e8 tutt’altro che univoca, dato che dipende dal senso che si conviene
\ndi dare al concetto di “numero”. In matematica esistono moltissimi insiemi,
\ndalle strutture pi\u00f9 varie, sui quali \u00e8 possibile definire
\noperazioni del tutto analoghe alla somma e al prodotto “ordinari”; alcuni di
\ntali insiemi (il campo dei quaternioni, per citarne uno) contengono i numeri
\ncomplessi e quindi potrebbero essere pensati in effetti come un’estensione di
\nquesti ultimi. In generale, comunque, il concetto di “numero” \u00e8
\ncollegato al problema della misura delle grandezze e quindi alle scienze
\napplicate, a cominciare dalla fisica: da questo punto di vista, non \u00e8
\nnecessario adottare sistemi di numeri pi\u00f9 ampi di quello dei numeri
\ncomplessi, dal momento che questi ultimi (come abbiamo detto) bastano per
\neffettuare tutte le operazioni che sono necessarie. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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