{"id":2654,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2654","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2654\/","title":{"rendered":"Ricordo  un aforisma che dice: la   freccia scagliata verso il bersaglio non lo raggiunge mai perch\u00e8 deve arrivare alla met\u00e0 della distanza, e da qui deve poi arrivare alla met\u00e0 della rimanente distanza e cosi via indefinitivamente, per cui la freccia si avvicina sempre pi\u00f9, senza raggiungere mai il bersaglio. Dov&#8217;\u00e8 l&#8217;errore di ragionamento?"},"content":{"rendered":"<p>L&#8217;errore sta nel fatto che Zenone, presunto autore del celebre paradosso illustrato, era dell&#8217;idea, comune all&#8217;epoca, che la somma di infiniti addendi non potesse dare un risultato finito.<br \/>In effetti la somma di infiniti addendi \u00e8 un&#8217;operazione che non ha significato; proprio per questo \u00e8 stato ideato il concetto di limite che permette di dare un significato ragionevole a tale operazione, che quindi perde la sua &#8220;algebricit\u00e0&#8221;.<br \/>Pi\u00f9 precisamente data una successione x<sub>n<\/sub> di numeri reali, si pone S<sub>k<\/sub>=x<sub>1<\/sub>+x<sub>2<\/sub>+&#8230;+x<sub>k<\/sub> . Se si vuole sare un senso alla somma degli infiniti x<sub>n<\/sub> allora basta definire S=lim<sub>k &#8594;+&#8734;<\/sub> S<sub>k<\/sub>, nel caso in cui esista e sia finito.<\/p>\n<p>Fatta questa premessa teorica, il paradosso di Zenone si scioglie rapidamente; la freccia deve percorrere il segmento AB che supponiamo di lunghezza 1. Supponiamo anche che la freccia viaggi a velocit\u00e0 costante v, che supponiamo anch&#8217;essa pari a 1 (la difficolt\u00e0 matematica del problema non cambia). Allora il tempo necessario per arrivare a met\u00e0 distanza sar\u00e0 t<sub>1<\/sub>=1\/2; il tempo per arrivare a met\u00e0 del percorso rimanente sar\u00e0 t<sub>2<\/sub>=t<sub>1<\/sub>+1\/4=1\/2+1\/4. Il tempo per arrivare a met\u00e0 del percorso che ancora resta sar\u00e0 t<sub>3<\/sub>=t<sub>2<\/sub>+1\/8=1\/2+1\/4+1\/8. Cos\u00ec il tempo per arrivare al k-esimo nodo della suddivisione di AB sar\u00e0 dato da t<sub>k<\/sub>=1\/2+1\/4+1\/8+&#8230;+1\/2<sup>k<\/sup>.\u00a0 Dunque si ha la somma del termine x<sub>n<\/sub>=(1\/2)<sup>n<\/sup>. Si dimostra\u00a0 facilmente che S<sub>k<\/sub>=1+q+q<sup>2<\/sup>+&#8230;+q<sup>k<\/sup> =(1-q<sup>k+1<\/sup>)\/(1-q), se  q&#8800;1. Ne segue che t<sub>k<\/sub>=(1-(1\/2)<sup>k+1<\/sup>)\/(1-1\/2)-1=2(1-(1\/2)<sup>k+1<\/sup>)-1. Passando al limite si ha che il tempo affich\u00e8 la freccia percorra l&#8217;intero segmento &#8220;passando da una met\u00e0 alla successiva&#8221; \u00e8 (guarda caso) t=lim<sup><\/sup><sub>k&#8594;+&#8734;\u00a0 <\/sub>t<sub>k<\/sub>=2-1=1, avendo che (1\/2)<sup>k+1<sub>\u00a0<\/sub><\/sup>\u00a0&#8594; 0.\u00a0<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2654","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2654","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2654"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2654\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2654"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2654"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2654"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}