{"id":263,"date":"2003-03-31T00:00:00","date_gmt":"2003-03-30T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"263","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/263\/","title":{"rendered":"Consideriamo una estrazione di 6 numeri su 20. Come si fa a sapere quante sono le combinazioni di 6 numeri che garantiscono di indovinare almeno un terno in sestina? È possibile anche calcolarle?"},"content":{"rendered":"

La soluzione completa del problema (come credo
\n sar\u00e0 evidente alla fine della risposta) \u00e8 tutt’altro che
\n breve e banale. Preferirei quindi suggerire un po’ di strategie per
\n affrontarlo, lasciando al lettore interessato il compito di
\n dedicare ai dettagli tutto il tempo che questi richiedono. A tale scopo,
\n propongo di studiare la situazione in un modo un po’ pi\u00f9 generale:
\n consideriamo un’estrazione di 6 numeri su n<\/i> e chiediamoci quante
\n sestine dobbiamo giocare per avere la sicurezza di indovinare almeno un
\n terno della sestina estratta. La generalizzazione \u00e8 quindi
\n davvero minima, dato che consiste nel rimpiazzare il numero 20 della
\n domanda con un numero intero qualsiasi. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0I possibili terni
\n che si possono realizzare con n<\/i> numeri sono
\n n<\/i>\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a01)\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a02)\u00a0\/\u00a06.
\n Ogni sestina, d’altra parte, contiene 6\"\"\/5\"\"\/4\u00a0\/\u00a06\u00a0=\u00a020 terni, per cui se
\n riuscissimo a realizzare la situazione ideale in cui ogni terno
\n viene giocato una sola volta ci sarebbero sufficienti
\n n<\/i>\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a01)\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a02)\u00a0\/\u00a0120
\n giocate. Perch\u00e9 esista una soluzione ottima a questo problema,
\n allora, la formula appena vista deve dare un risultato intero; in
\n effetti, nel caso proposto dal lettore con n<\/i>\u00a0=\u00a020,
\n tale numero \u00e8<\/i> intero e pari a 57. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0In realt\u00e0,
\n per\u00f2, ci si pu\u00f2 rendere conto che giocare tutti<\/i> i
\n terni \u00e8 inutile: per essere sicuri di indovinare
\n almeno un terno nella sestina estratta \u00e8 in effetti sufficiente
\n giocare solo i terni che si possono realizzare con numeri da 1 a
\n n<\/i>\u00a0–\u00a03 (perch\u00e8 la sestina estratta non pu\u00f2
\n contenere pi\u00f9 di tre numeri maggiori di
\n n<\/i>\u00a0–\u00a02). Per capire quante giocate potrebbero essere
\n sufficienti nel caso di esistenza di una soluzione “ideale”, allora,
\n basta sostituire n<\/i>\u00a0–\u00a03 al posto di n<\/i> nelle
\n formule precedenti: anche nel caso n<\/i>=17, in effetti, la formula
\n per il numero delle giocate minime d\u00e0 il valore 34, che \u00e8
\n intero. Sembrerebbe quindi che il problema posto dal lettore
\n possa avere una soluzione “ideale”; in realt\u00e0 uno studio
\n pi\u00f9 approfondito dimostra che questo non \u00e8 vero. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Consideriamo
\n infatti tutti i terni che contengono un certo numero fissato (per
\n esempio il numero 1): tali terni sono esattamente
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a01)\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a02)\u00a0\/\u00a02,
\n e d’altra parte ogni giocata in cui il numero 1 compare “copre” 5\"\"\/4\u00a0\/\u00a02\u00a0=\u00a010 terni che
\n lo contengono. Nella situazione ideale in cui ogni terno viene giocato
\n esattamente una volta, allora, ogni elemento dovrebbe comparire
\n esattamente in
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a01)\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a02)\u00a0\/\u00a020
\n insiemi e quindi anche questo numero deve essere intero. In
\n particolare, dal momento che i numeri (n<\/i>\u00a0–\u00a01) e
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a02) sono uno pari e l’altro dispari, ci sono
\n soltanto due possibilit\u00e0: o uno dei due \u00e8 multiplo di 20,
\n oppure uno dei due \u00e8 multiplo di 5 e l’altro \u00e8 multiplo
\n di 4. Invece di esaminare subito le conseguenze di questa propriet\u00e0,
\n ripetiamo un ragionamento analogo per tutti i terni che contengono
\n due<\/i> numeri fissati (per esempio, 1 e 2): tali terni sono
\n esattamente (n<\/i>\u00a0–\u00a02) e ogni insieme in cui compaiono i
\n numeri 1 e 2 gioca 4 di tali terni. In particolare, allora,
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a02) deve essere multiplo di 4 e cio\u00e8
\n n<\/i> deve essere multiplo di 2 ma non di 4. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Combinando tutti
\n gli elementi in nostro possesso \u00e8 possibile capire allora che
\n n<\/i> deve essere pari e tale che (n<\/i>\u00a0–\u00a02) sia
\n multiplo di 4; inoltre (dato che (n<\/i>\u00a0–\u00a01)\u00a0(n<\/i>\u00a0–\u00a02)
\n deve essere multiplo di 20), o (n<\/i>\u00a0–\u00a02) \u00e8
\n multiplo di 20 oppure (n<\/i>\u00a0–\u00a01) \u00e8 multiplo di 5.
\n I numeri per cui (n<\/i>\u00a0–\u00a02) \u00e8 multiplo di 20 sono
\n evidentemente 22, 42, 62, … mentre i numeri per cui
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a01) \u00e8 dispari e multiplo di 5 e
\n (n<\/i>\u00a0–\u00a02) \u00e8 multiplo di 4 sono esattamente 6, 26,
\n 46, 66, … . In altre parole, una soluzione ottimale pu\u00f2
\n esistere solo se<\/i> si sta eseguendo un’estrazione da un’urna che
\n contiene n<\/i> numeri con n<\/i> appartenente all’insieme
\n {6, 22, 26, 42, 46, …}. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Osserviamo ancora
\n che tale condizione \u00e8 necessaria<\/i> ma non \u00e8 affatto
\n detto che sia anche sufficiente<\/i>: potrebbe essere possibile, per
\n esempio, che la soluzione ottima esista solo nel caso banale n<\/i>\u00a06,
\n oppure che esista solo per alcuni elementi di quell’insieme e non per
\n altri. Si potrebbero considerare anche alcune propriet\u00e0 che
\n devono essere soddisfatte dalle sestine che fanno parte di un “sistema”
\n ottimo (per esempio, due giocate diverse non possono mai avere pi\u00f9
\n di due numeri in comune, perch\u00e9 altrimenti almeno un terno verrebbe
\n giocato due volte): tali propriet\u00e0 potrebbero permettere di
\n escludere l’esistenza di una soluzione ottima anche per altri valori di
\n n<\/i>. Per dimostrare l’esistenza di una soluzione ottima si
\n potrebbe invece (con un po’ di attitudine alla programmazione) cercare,
\n per esempio, di istruire un calcolatore a attuare un metodo simile al
\n “crivello di Eratostene” per determinare i numeri primi: si decide la
\n prima giocata e si cancellano tutti i terni che essa contiene, poi si
\n decide la seconda e si eliminano tutti i terni che essa contiene e
\n cos\u00ec via. Va da s\u00e9 che questo algoritmo non \u00e8
\n necessariamente il pi\u00f9 semplice e che, a meno che non si trovino
\n condizioni “intelligenti” per la generazione delle giocate, non d\u00e0
\n nemmeno garanzie di essere corretto: lascerei comunque al lettore il
\n compito di trovare un algoritmo a questo scopo. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\n

<\/font><\/p>\n

In ogni caso, il
\n problema posto dal lettore non ammette una soluzione ideale. Va anche
\n detto d’altra parte che (dato che il numero di terni possibili, per
\n quanto grande, \u00e8 pur sempre finito) deve esistere un qualche
\n numero di sestine che contiene tutti i possibili terni. Trovare tale
\n numero per via teorica \u00e8 tuttavia tanto complicato da essere
\n meno conveniente, dal punto di vista del tempo impiegato, rispetto al
\n procedimento “per tentativi” ma ci\u00f2 che abbiamo osservato fin qui
\n ci permette per\u00f2 lo stesso di dire qualcosa. Da un lato, infatti,
\n le giocate dovranno essere almeno 34 (cio\u00e8 il numero “teorico” di
\n giocate nella situazione ottima); dall’altro, se esistesse un sistema
\n ottimo per giocare tutti i terni che si possono comporre con pi\u00f9
\n di 17 numeri, si potrebbe usare lo stesso sistema (sostituendo qualsiasi
\n altro numero ai numeri pi\u00f9 grandi di 17) per giocare anche tutti
\n i terni che ci interessano. Se insomma si riesce a dimostrare
\n che 77 sestine sono effettivamente sufficienti per giocare tutti i
\n terni che si possono comporre con 22 numeri (che \u00e8 il pi\u00f9
\n piccolo numero maggiore di 17 contenuto nell’elenco dei numeri “buoni”)
\n abbiamo evidentemente anche la garanzia che non ci saranno necessarie
\n pi\u00f9 di 77 giocate. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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