{"id":2620,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2620","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2620\/","title":{"rendered":"Buongiorno,\r\nesiste una formula, un metodo o altro per risolvere la seguente questione:\r\nper quali valori di X interi, l&#8217;espressione\r\nY = SQRT ( X^2 + k ) ha soluzioni intere?\r\nOvvero: quando (X^2 + K) \u00e8 un quadrato perfetto?\r\nGrazie"},"content":{"rendered":"<p>Per arrivare ad una soluzione, seppur parziale, del problema \u00e8 sufficiente tracciare un grafico della funzione f(x)=&#8730;(x<sup>2<\/sup>+k). Infatti, dopo uno studio rapido, si ha che f(0)=&#8730;k (supponiamo k&gt;0) , f cresce per x&gt;0, \u00e8 convessa ed ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y=x. <br \/>Il problema geometrico \u00e8 quello di capire se il grafico di f incontra o no il reticolo nel primo quadrante formato da punti a coordinate intere. Qui di sotto \u00e8 rappresentata una figura che rappresenta il caso k=2:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.vialattea.net\/spaw\/image\/matematica\/grafico2.GIF\" alt=\"\"\/><br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<p>In tale grafico \u00e8 rappresentata quindi la curva y=&#8730;(x<sup>2<\/sup>+2), e le rette y=x e y=x+1. Come si pu\u00f2 notare il grafico non incontra mai il reticolo; quello che si pu\u00f2 dire certamente, proprio per la presenza dell&#8217;asintoto obliquo y=x che attraversa il reticolo, \u00e8 che il grafico di y=&#8730;(x<sup>2<\/sup>+k) non incontra il reticolo dei punti a coordinate intere dopo il punto di intersezione tra il grafico di f e la retta y=x+1. Dunque (dopo un rapido calcolo) possiamo dire con certezza che non esistono soluzioni intere se x&gt;(k-1)\/2. <\/p>\n<p>Rimane aperta, in generale, la verifica per tutti i\u00a0 valori di x interi al di sotto della soglia (k-1)\/2; sono comunque in numero finito, per cui \u00e8 concepibile una verifica diretta, caso per caso.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-2620","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2620","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2620"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2620\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2620"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2620"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2620"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}