{"id":2585,"date":"2006-06-21T00:00:00","date_gmt":"2006-06-20T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2585","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2585\/","title":{"rendered":"sn un alunno del quarto liceo e vorrei avere chiarimenti facili ed esaustivi sul concetto di derivata, massimo, minimo, punto di max. e min."},"content":{"rendered":"<p>Data una funzione f definita su un intervallo (a,b) a valori reali (per semplicit\u00e0 mi metto in tali condizioni) uno dei problemi pi\u00f9 importanti di cui si occupa l&#8217;Analisi Matematica \u00e8 quello di andare a trovare i punti in cui f assume valore massimo o minimo, sempre che essi esistano. x si dice di massimo locale se f(x)&gt;f(y) pe ogni y in un intorno di x. Se vale la disuguaglianza opposta x si dice di minimo locale.<\/p>\n<p>Lo strumento fondamentale per trovare questi punti \u00e8 rappresentato dal calcolo delle derivate; infatti se una funzione &#8220;abbastanza regolare&#8221;, con un grafico liscio diciamo, ha un punto di massimo (o minimo) locale in (a,b), allora in quel punto il grafico della funzione ha una retta tangente orizzontale, ovvero ha derivata zero. Diciamo infatti che una funzione f definita in (a,b) a valori reali \u00e8 derivabile in x se esiste il limite per h che tende a 0 del rapporto<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 [f(x+h)-f(x)] \/ h.<br \/>In tal caso tale limite si denota con f'(x) e viene detto derivata prima di f in x. La derivata prima di f in x fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x; dunque, quello che si dimostra \u00e8 che se x \u00e8 punto di massimo (o minimo) locale in (a,b), allora, se la funzione f \u00e8 derivabile in x, si ha f'(x)=0.<\/p>\n<p>Infatti supponiamo x sia punto di massimo locale; allora se h&gt;0 \u00e8 abbastanza piccolo, si ha f(x+h)-f(x)&lt;0, invece se h&lt;0, allora f(x+h)-f(x)&lt;0. Dunque f'(x) deve essere limite di termini positivi o negativi, e quindi deve essere 0.<\/p>\n<p>I punt in cui f'(x)=0 sono detti punti critici per f; essi potrebbero essere punti di massimo o di minimo locale, od anche punti di flesso. Per classificare i punti critici trovati basta ricordare che se una funzione ha derivata prima positiva in un punto, allora \u00e8 ivi crescente, mentre se ha derivata negativa \u00e8 ivi decrescente, e questo si vede subito grazie al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente.<br \/>Dunque, se x \u00e8 punto critico per f, sar\u00e0 punto di massimo locale laddove f cresce prima di x e decresce dopo x, mentre sar\u00e0 punto di minimo locale laddove f decresce prima di x e cresce dopo x. Se nessuno dei due casi si presente, x sar\u00e0 punto di flesso.<\/p>\n<p>Esempi: f(x)=x<sup>2<\/sup>, su tutto R, ha minimo locale (ed anche assoluto) in x=0; infatti f'(x)=2x=0 se x=0. Ma f'(x)&gt;0 se x&gt;0 e f'(x)&lt;0 se x&lt;0, da cui x=0 \u00e8 punto di minimo. f(x)=-x<sup>2<\/sup> ha ovviamente punto di massimo locale (ed assoluto) in x=0. Invece f(x)=x<sup>3<\/sup> ha derivata prima 3x<sup>2<\/sup> che si annulla per x=0 ma rimane sempre positiva, e dunque la funzione passa per x=0 rimanendo crescente, da cui x=0 punto di flesso (a tangente orizzontale).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2585","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2585","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2585"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2585\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2585"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2585"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2585"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}