L’oscillatore armonico unidimensionale e’ uno dei piu’ importanti problemi (probabilmente il piu’ importante in assoluto) in meccanica quantistica. Dal punto di vista didattico, e’ utilissimo per illustrare i concetti ed i metodi base della teoria dei quanti; dal punto di vista storico, e’ stato utilizzato da Planck per introdurre i "quanti" di energia associati ad "oscillatori di radiazione"; e soprattutto dal punto di vista pratico trova applicazione in tutti i campi della fisica moderna: spettroscopia, stato solido, fisica nucleare, teoria dei campi, meccanica statistica…….
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\nPoiche’ la domanda e’ molto precisa (non riguarda gli aspetti generali del problema dell’oscillatore armonico) e dato che la nostra amica frequenta il corso di laurea in astronomia, la mia risposta sara’ un po’ "tecnica"……………..<\/p>\n
La soluzione del problema dell’O.A. in meccanica quantistica e’ particolarmente intuitiva ed elegante seguendo il metodo operatoriale di Dirac.<\/p>\n
Consideriamo la hamiltoniana in unita’ adimensionali:<\/p>\n
H=(P2<\/sup>+Q2<\/sup>)\/2<\/b><\/p>\n dove P<\/b> e [Q<\/b> sono proporzionali rispettivamente agli operatori impulso e coordinata, e soddisfano la relazione di commutazione:<\/p>\n [Q,P]=i<\/b><\/p>\n Per risolvere il problema si puo’ scegliere una particolare rappresentazione (ad esempio, la {Q}) e quindi risolvere l’equazione di Schrodinger in quella rappresentazione, che risulta essere:<\/p>\n 1\/2[-d2<\/sup>\/dQ2<\/sup>+Q2<\/sup>]u(Q)=Eu(Q)<\/b><\/p>\n Il metodo operatoriale di Dirac e’ piu’ diretto e consiste nel costruire gli autovettori di H<\/b> partendo dall’applicazione di opportuni operatori ad uno di essi: dunque si risolve il problema senza scegliere una particolare rappresentazione.<\/p>\n A tal fine introduciamo gli operatori:<\/p>\n a=1\/21\/2<\/sup>(Q+iP)<\/b><\/p>\n a+<\/sup>=1\/21\/2<\/sup>(Q-iP)<\/b><\/p>\n Si verifica subito che:<\/p>\n [a,a+<\/sup>]=1<\/b><\/p>\n H=1\/2(aa+<\/sup>+a+<\/sup>a)<\/b><\/p>\n e, introducendo l’operatore "numero"N=a+<\/sup>a<\/i> si ha infine:<\/p>\n H=N+1\/2<\/b><\/p>\n Dunque ora il problema agli autovalori dell’O.A. e’ perfettemente equivalente al problema di costruire gli autovettori dell’operatore N<\/b>: infatti H<\/b> e’ funzione lineare di N<\/b> ed i due operatori sono simultaneamente diagonalizzabili<\/i>. <\/p>\n Consideriamo dunque un set di autovettori |n><\/i> ed autovalori n<\/i> (per comodita’ futura li indichiamo con n<\/i>, ma bisogna ancora dimostrare che sono numeri interi!) per l’operatore N<\/i>. Subito osserviamo che:<\/p>\n N|n>=n|n><\/b> implica che H|n>=(n+1\/2)|n><\/b><\/p>\n e dunque gli autovalori dell’energia sono dati da<\/p>\n En<\/sub>=n+1\/2<\/b><\/p>\n Cerchiamo ora di estrapolare il significato fisico degli operatori a<\/i> ed a+<\/sup><\/i>:<\/p>\n [N,a]=-a<\/b>\t\t[N,a+<\/sup>]=a+<\/sup><\/b><\/p>\n da cui consegue che:<\/p>\n Na+<\/sup>|n>=([N,a+<\/sup>]+a+<\/sup>N|n>=(n+1)a+<\/sup>N|n><\/b><\/p>\n Na|n>=([N,a]+aN|n>=(n-1)aN|n><\/b><\/p>\n Dunque a+<\/sup>|n> (a|n>)<\/i> e’ autovettore di N con autovalore aumentato (diminuito) di uno (il che, tradotto in termini di H<\/i> significa aumento o diminuzione dell’energia di un "quanto"). E’ quindi appropriato il termine di operatori di creazione e distruzione <\/i>.<\/p>\n E’ evidente dalle formule che a|n><\/i> e |n-1><\/i> sono lo stesso vettore a meno di una costante di proporzionalita’ C (cosi’ come a+<\/sup>|n><\/i> e |n+1><\/i>). Entrambi i fattori di proporzionalita’ si ricavano imponendo che entrambi |n><\/i> e |n-1><\/i> siano normalizzati (analogamente |n><\/i> e |n+1><\/i>):<\/p>\n <n|a+<\/sup>a|n>=n=|C|2<\/sup> <\/b><\/p>\n <n|aa+<\/sup>|n>=n+1=|C’|2<\/sup> <\/b><\/p>\n e dunque otteniamo:<\/p>\n a|n>=n1\/2<\/sup>|n-1><\/b><\/p>\n a+<\/sup>|n>=(n+1)1\/2<\/sup>|n+1><\/b><\/p>\n Dunque gli operatori di creazione e distruzione ci fanno muovere "su e giu’" come su una "scala" all’interno del set di autovettori dell’O.A., ma la "discesa" non puo’essere illimitata perche’ prima o poi dovremo incontrare lo stato fondamentale. Ed infatti una sequenza del tipo:<\/p>\n a|n>=n1\/2<\/sup>|n-1><\/b><\/p>\n a2<\/sup>|n>=(n(n-1))1\/2<\/sup>|n-2><\/b><\/p>\n a3<\/sup>|n>=(n(n-1)(n-2)1\/2<\/sup>|n-3><\/b><\/p>\n …<\/p>\n …<\/p>\n non puo’ continuare all’infinito, perche’ la positivita’ della norma del vettore a|n><\/i> (<n|a+<\/sup>a|n>=n>=0<\/i>) impone che n<\/i> non puo’ mai essere negativo.<\/p>\n In questo modo deduciamo anche che la sequenza deve partire da n<\/i> interi, altrimenti scendendo con ripetute applicazioni di a<\/i> potrei oltrepassare lo zero ed andare su valori negativi.<\/p>\n In conclusione, il problema dell’O.A.(in unita’ adimensionali) ha come soluzione il seguente autosistema:<\/p>\n En<\/sub>=n+1\/2 <\/b>\t|n>=[(a+<\/sup>)n<\/sup>\/n!1\/2<\/sup>]|0><\/b><\/p>\n Da questa soluzione si puo’ tornare indietro e ricavare l’espressione delle autofunzioni nella rappresentazione {Q}: ricordando la definizione di a<\/i> in termini di Q<\/i> e P<\/i> e sfruttando il fatto che P<\/i> e’ la variabile coniugata a Q<\/i>, l’equazione a|0>=0<\/i> diventa:<\/p>\n [d\/dQ+Q]u0<\/sub>(Q)=0<\/b><\/p>\n la cui soluzione, normalizzata all’unita’, e’:<\/p>\n u0<\/sub>(Q)=pi-1\/4<\/sup>e-Q2<\/sup>\/2<\/sup><\/b><\/p>\n A partire da questa, le altre autofunzioni si ottengono "salendo la scala" con l’operatore a+<\/sup><\/i>: l’espressione generica e’<\/p>\n un<\/sub>(Q)=pi-1\/4<\/sup>2-n\/2<\/sup>n!-1\/2<\/sup>(Q-d\/dQ)n<\/sup>e-Q2<\/sup>\/2<\/sup><\/b><\/p>\n \nPer concludere, notiamo che la potenza di questo metodo risolutivo si mostra nella sua immediata generalizzazione per dimensione maggiore di 1: in questo caso gli autovettori sono dati dal prodotto tensoriale<\/i> degli autovettori unidimensionali<\/p>\n |n1<\/sub>n2<\/sub>n3<\/sub>…….np<\/sub>>=|n1<\/sub>>||n2<\/sub>>|n3<\/sub>>……..|np<\/sub>><\/b><\/p>\n mentre gli autovalori dell’energia risultano essere<\/p>\n H|n1<\/sub>…….np<\/sub>>=(H1<\/sub>+…….Hp<\/sub>)|n1<\/sub>>…….|np<\/sub>>=(n1<\/sub>+n2<\/sub>+……..np<\/sub>+p\/2)|n1<\/sub>…….np<\/sub>> […]<\/p>\n","protected":false},"author":162,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[47],"tags":[],"class_list":["post-257","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fisica-quantistica-e-nucleare"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/257","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/162"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=257"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/257\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=257"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=257"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=257"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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