Tratter\u00f2 per semplicit\u00e0 il caso di funzioni reali di variabile reale, visto che nella domanda non \u00e8 specificato.<\/p>\n
Data una funzione f definita su (a,b) intervallo (chiuso o aperto non importa) a valori in R diciamo che f \u00e8 continua in x se per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che per ogni y che sta in U, si ha f(x) ∈V. <\/p>\n
Sostanzialmente si sta chiedendo che se y \u00e8 vicino ad x, allora f(y) \u00e8 vicino a f(x), ovvero che f(y) tende a f(x) se y tende ad x. Infatti la definizione data di continuit\u00e0 equivale, nelle condizioni date, alla definizione di limite pari a f(x) per la funzione f. Ecco quindi il modo “pratico” per determinare se una funzione \u00e8 continua in un punto x del dominio; il limite di f(y) per y che tende ad x deve essere f(x). <\/p>\n
In realt\u00e0 quello che si fa \u00e8 applicare Teoremi gi\u00e0 noti; ovvero \u00e8 dimostrato che le funzioni elementari note (polinomi, funzioni circcolari, ecc…) sono continue ove definite. Inoltre componendo funzioni continue mediante operazioni “classiche” (somma, differenza, prodotto, ecc…) si trovano ancora funzioni continue, sempre limitatamente al dominio. <\/p>\n
La regola da verificare, in ogni caso, rimane la verifica del calcolo del limite, ricordando in proposito che il limite esiste se e solo se esistono e sono uguali limite destro e sinistro. In particolare ci\u00f2 pu\u00f2 tornare utile per studiare la continuit\u00e0 di una funzione definita a tratti, per esempio, f(x)=f1<\/sub>(x) per x<x0<\/sub>, e f(x)=f2<\/sub>(x) per x>=x0<\/sub>: per la continuit\u00e0 di f in x0<\/sub> basta quindi calcolare limite destro e sinistro di f per x che tende ad x0<\/sub>, e imporre l’uguaglianza.<\/p>\n Cos\u00ec come la continuit\u00e0 \u00e8 un limite, anche la derivabilit\u00e0 lo \u00e8; f si dice derivabile in x se esiste il limite per h che tende a 0 di [f(x+h)-f(x)]\/h; tale limite, se esiste ed \u00e8 finito, si dice derivata prima di f in x. Si vede facilmente che tale valore ha il significato di coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x. Dunque una funzione derivabile \u00e8 una funzione con il grafico “liscio”, senza angoli o spigoli. Anche per la derivabilit\u00e0 spesso la verifica si appoggia a risultati noti: la derivabilit\u00e0 delle funzioni elementari, e Teoremi che assicurano la derivabilit\u00e0 della composizione di funzioni elementari. La strada corretta, in ogni caso, \u00e8 la verifica diretta dell’esistenza e finitezza del limite del rapporto incrementale. Va aggiunto che non \u00e8 necessario che il limite del rapporto incrementale diventi infinito affinch\u00e8 la derivata non esista; potrebbe anche non esistere, ed \u00e8 il caso dei punti angolosi, per esempio per la funzione y=|x|, la quale in x=0 non ammette derivata, essendo diversi i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, ma finiti. […]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2554","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2554","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2554"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2554\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2554"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2554"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2554"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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