{"id":2549,"date":"2006-07-10T00:00:00","date_gmt":"2006-07-09T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2549","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2549\/","title":{"rendered":"Cosa significa trovare un’ordine nella sequenza dei numeri primi? Quale implicazione avrebbe?"},"content":{"rendered":"
Un numero naturale n<\/span> si dice primo se i suoi divisori sono
\nsolo 1<\/span> e n<\/span> stesso. La divisione per qualsiasi altro numero naturale da’
\nun resto diverso da 0. <\/p>\n

La successione dei numeri prima inizia cosi’:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 , 31, 37 (e fino a mille continua <\/p>\n

cosi’<\/a>)<\/div>\n

<\/div>\n
Cosa vuol dire trovare un ordine in questa successione? Ovviamente
\ndipende dal significato che si da’ al termine “ordine”. Parlando in
\nsenso generale, in questo contesto intendo la frase “trovare un ordine”
\ncome “trovare una qualche proprieta’ interessante” nella successione
\n(oltre ovviamente a quella di essere numeri primi, che e’ la
\ndefinizione stessa della successione). <\/div>\n
<\/div>\n
La prima proprieta’ interessante dei numeri primi, e’ sapere
\nquanti ce ne sono. E’ intuitivo (e si puo’ dimostrare rigorosamente)
\nche mano a mano che nella successione degli interi i numeri diventano
\npiu’ grandi, si trovano meno numeri primi tra di essi, in quanto e’
\npiu’ facile che un numero molto grande possa essere diviso senza resto
\nda un numero piu’ piccolo. In linea di principio, sarebbe potuto
\naccadere che oltre un certo punto non ci fossero piu’ numeri primi,
\nma che tutti i numeri fossero divisibili per altri piu’ piccoli. Invece
\nle cose non stanno in questo modo: comunque si scelga un numero, esiste
\nun numero primo piu’ grande, ossia esistono infiniti numeri primi. E
\n(sebbene sia una cosa facile da dimostrare e nota sin
\ndall’antichita’) si tratta di una proprieta’ “non banale”, perche’ vuol
\ndire che esistono dei numeri grandi quanto si vuole, che non possono
\nessere divisi per nessun intero piu’ piccolo! <\/div>\n
<\/div>\n
Appurato che ci sono infiniti numeri primi, sarebbe interessante anche trovare una “formula” utile a calcolare qual e’ un
\ngenerico numero primo oppure a sapere come sono distribuiti i numeri
\nprimi tra gli interi. <\/div>\n
<\/div>\n
Prendiamo per esempio la successione dei numeri pari, ossia di tutti i numeri divisibili per due:<\/div>\n
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….<\/div>\n
in cui si vede per esempio che il terzo numero pari e’ 6, mentre
\nil settimo e’ 14. E’ facile dimostrare che la formula per sapere qual
\ne’ l’n-esimo numero pari e’ 2n.<\/div>\n
<\/div>\n
Esiste una formula per trovare l’n-esimo numero primo? Nel 1751 il
\ngrande matematico Eulero, dopo aver tentato inutilmente di trovare tale
\nformula, scrisse di “gettare un’occhiata alle tavole dei numeri primi.
\nCi accorgeremmo che non vi regna ne’ ordine ne’ legge”, ed in effetti
\nguardando queste tavole<\/a> non
\nsi puo’ non dargli ragione: il ritmo e’ irregolare, varia tra il raro<\/span> ed il frequente<\/span> in maniera apparentemente randomica.
\nPer esempio nella decade 307-317 ci sono ben 4 primi (307, 311, 313, 317) mentre
\nper avere i successivi 4 bisogna “attendere” ben 3 decadi (317, 331,
\n337, 347). <\/div>\n
<\/div>\n
Come spesso accade nella scienza, i progressi arrivano
\nimprovvisamente quando qualcuno scopre che guardando le cose da un
\npunto di vista diverso, diviene evidente un nesso tra due campi della
\nconoscenza apparentemente lontani tra loro. Il cambio di prospettiva
\ninizio’ a delinearsi nella mente di Gauss, probabilmente nel 1791
\nquando – quattordicenne – ricevette in dono un libro di logaritmi. In
\nquel tempo le tavole logaritmiche erano abbastanza diffuse tra i
\nmercanti perche’ erano utili a rendere piu’ veloci le operazioni di
\nmoltiplicazione dei numeri (mercanzie x prezzo). <\/div>\n
<\/div>\n
Il cambio di prospettiva merito di Gauss e’ notevole: da sempre
\n(ed anche nella domanda che ho posto sopra sull’esistenza di una
\n“formula”) e si era cercato di trovare il valore di ciascun numero
\nprimo, ci si era fissati sul singolo. Gauss, invece, si focalizzo’
\nsull’insieme. Spesso nella scienza l’abilita’ e’ nel porre la domanda
\n“giusta” e la domanda in questione, piuttosto di quella riportata sopra
\n(“qual e’ l’n-esimo numero primo”) fu: “quanti numeri primi ci sono tra
\n1 ed N?” Da questa prospettiva per Gauss fu relativamente facile, con
\nun ragionamento statistico (visto l’aspetto casuale descritto sopra),
\ntrovare una risposta approssimata alla domanda, ossia: N\/log(N)<\/span>. <\/div>\n
Gauss sottolineo’ l’importanza di tale formula, interamente basata
\nsui logaritmi, dichiarando: “non avete idea di quanta poesia ci sia in
\nuna tavola dei logaritmi<\/span>“.<\/p>\n
\"\"\/
La stima di Gauss confrontata con il valore l’esatto di primi fino a 100

<\/font><\/div>\n<\/div>\n

In seguito Gauss miglioro’ la sua stima, sempre basandosi
\nsull’apparente casualita’ della successione, ed anche questa stima piu’
\ncomplicata si fondava sul logaritmo. Ma si dovettero aspettare decenni
\n(ossia sino al 1859) per avere un altro significativo passo in avanti
\nnella comprensione della successione dei numeri primi. Tale passo fu
\ncompiuto da Riemann e fu pubblicato (parzialmente) in un saggio di 10
\npagine. Il passo di Riemann e’ un nuovo ed ancora piu’ radicale cambio
\ndi prospettiva i cui dettagli non possono essere approfonditi ora (si
\nveda per esempio qui<\/a>).
\nRiemann trovo’ dei nessi impressionanti tra lo studio di funzioni
\ncontinue di variabili complesse e somma delle serie, in particolare di
\nFourier (questi nessi stavano delineandosi in quegli anni anche grazie
\nad altri matematici) ed i numeri primi! In particolare Riemann mostro’
\nche si potrebbe calcolare la posizione dei numeri primi studiando
\nquando una speciale funzione (che prese il nome di zeta di Riemann) si
\nannulla. E’ sorprendente che l’irregolarita’ nella successione dei numeri primi, possa avere a che fare con le regolarita’ di una funzione
\ncontinua di variabile complessa! Ancora piu’ curioso e’ il fatto che
\nRiemann riesca a dimostrare che la formula statistica di Gauss puo’
\nderivarsi da una ipotesi di “ordine” sulla posizione degli zeri della
\nfunzione zeta: l’apparente casualita’ dei numeri primi puo’ venir
\ngenerata dalla disposizione allineata degli zeri della funzione
\ncomplessa zeta! Ma tali zeri, sono effettivamente allineati? A
\ntutt’oggi ancora non e’ noto…<\/p>\n

In realta’ affinche’ sia vera la formula di Gauss non e’
\nnecessario che gli zeri siano effettivamente allineati, ma e’
\nsufficiente un’ipotesi piu’ debole, dimostrata indipendentemente da
\nHadamard e Vallee-Poussine alla fine dell’ ‘800, circa cento (sic!)
\nanni dopo la formulazione dell’ipotesi di Gauss, che divento’ quindi il
\nTeorema dei Numeri Primi.<\/p>\n

Come si vede di “ordine” nei numeri primi se n’e’ gia’ trovato ed allo
\nstato attuale il passo ulteriore sarebbe quello di dimostrare l’ipotesi
\ndi Riemann. Tale dimostrazione potrebbe <\/span>fornire un metodo che faciliti la scomposizione in fattori primi, che attualmente e’ difficile <\/span>(ossia
\nrichiede un tempo lungo, se vogliamo parlare dal punto di vista
\ncomputazionale), in quanto bisogna procedere a tentativi. Questa
\ndifficolta’ e’ alla base di molti sistemi di sicurezza criptati (di cui vialattea si e’ gia occupata, vedi qui<\/a>) che
\ndovrebbero essere modificati in caso si scopra tale “facilitazione”
\n(per la cronaca sistemi crittografici basati su altre tecniche sono
\nnoti – ed in parte gia’ utilizzati).<\/p>\n

Ma potrebbero esserci anche implicazioni piu’ profonde. Gia’ Gauss, nei
\nsuoi appunti inediti, aveva trovato un nesso con l’idrodinamica di una
\nstella. Relazioni meno chiare sono state intuite con la fisica
\nquantistica dei nuclei atomici, con la teoria del caos, del caos
\nquantistico, con la struttura dei vetri ed addirittura con il
\nsequenziamento del DNA o con il calcolo delle probabilita’ che il
\nsolitario Klondike riesca o fallisca! Allo stato attuale la maggior
\nparte di questi nessi sono ipotesi, ma in molti sperano che la
\neventuale dimostrazione (se esiste!) del teorema di Riemann<\/a>
\npossa far vedere nuova luce anche su questi campi, come e’ successo in
\naltri momenti storici (per esempio lo sviluppo della matematica delle
\ngeometrie non euclidee ha consentito di sviluppare la teoria della
\nrelativita’ generale).<\/p>\n

La storia della ricerca di ordine nella sequenza dei numeri primi e’
\naffascinante, cosi’ come l’ingegno delle persone che ci si sono
\ndedicate. Ramanujan, per esempio, che – sebbene privo di educazione
\nmatematica – fu in grado di scoprire indipendentemente i risultati di
\nRiemann. O Siegel che fu l’unico in grado di leggere alcuni caotici
\nmanoscritti di Riemann, che rivelarono una formula incredibilmente
\nprecisa per il calcolo degli zeri della “sua” zeta. Questa storia
\nappassionante, condita con aneddoti e vicende personali dei
\nprotagonisti, e’ descritta in un libro che ho letto tempo fa e che mi
\ne’ molto piaciuto:<\/p>\n

Marcus Du Sautoy<\/span> L’enigma dei numeri primi<\/span> Rizzoli, ISBN 88-17-00098-1<\/a>
<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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