![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image002.jpg\")
<\/font><\/center><\/p>\nSi supponga che il calore sia distribuito nella regione La discretizzazione della regione O<\/i>, tracciata in <\/font><\/ul>\n L’unione delle sottoregioni Oij<\/sub><\/i> \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L’espressione della Il metodo numerico di calcolo della soluzione dell’equazione ove n<\/i> \u00e8 il vettore normale al contorno \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Al di l\u00e0 dei \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La soluzione \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nel caso applicativo <\/font><\/ol>\n <\/font><\/p>\n Il metodo numerico di calcolo della soluzione dell’equazione ove L’adozione della funzione di Dirac, insieme con La differenza tra i due metodi \u00e8 proprio in questo \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Si osservi che \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nel caso applicativo <\/font><\/ol>\n
\nO<\/i> secondo una funzione
\nu<\/i>\u00a0:\u00a0R<\/b>2<\/sup>\u00a0–>\u00a0R<\/b> che fornisca
\ni valori di temperatura in ogni punto (x<\/i>,\u00a0y<\/i>) di O<\/i>.
\n<\/font><\/p>\n
\nnero, \u00e8 modellabile come segue: <\/font><\/p>\n <\/p>\n
\n Oij<\/sub><\/i> (i rettangoli in grigio); <\/li>\n
\n (in blu). <\/li>\n
\nrappresenta quindi una discretizzazione della regione O<\/i> mentre
\nl’unione dei segmenti oi<\/sub><\/i> rappresenta una discretizzazione
\ndella frontiera o contorno di O<\/i>, ![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image001.gif\")
O<\/i>. <\/font><\/p>\n
\ndissipazione del calore, dato il coefficiente di dissipazione k<\/i>,
\ncostante nelle due dimensioni, \u00e8 data dall’equazione di Laplace<\/i> <\/font><\/p>\n![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image003.gif\")
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[1]<\/font><\/center><\/p>\n
\ndi Laplace FEM consiste nel calcolo dell’integrale soluzione, date le
\ncondizioni al contorno O<\/i>,
\nseguente: <\/font><\/p>\n![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image004.gif\")
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[2]<\/font><\/center><\/p>\nO<\/i> e w<\/i> \u00e8 una funzione peso
\nappositamente scelta. <\/font><\/p>\n
\ndettagli che portano alla soluzione della [1], ottenuta integrando per parti
\ndopo aver applicato il teorema di Gauss-Green, ci\u00f2 che \u00e8
\nimportante evidenziare \u00e8 che il metodo FEM comporta la risoluzione
\ndella [2] in ogni sotto-intervallo Oij<\/sub><\/i>, infatti la
\ncaratteristica dei metodi FEM \u00e8 quella di operare sulla
\ndiscretizzazione dell’intero dominio<\/i>. <\/font><\/p>\n
\ndell’equazione [2] discretizzata porta alla formulazione di un’equazione
\nmatriciale la cui risoluzione fornisce i valori numerici della funzione
\nu<\/i>(x<\/i>,\u00a0y<\/i>), nei singoli sotto-intervalli
\nOij<\/sub><\/i>. <\/font><\/p>\n
\ngenerico (es.: diffusione acustica, di calore, di torsione, ecc.), il metodo
\nFEM \u00e8 caratterizzato dalle seguenti propriet\u00e0: <\/font><\/p>\n <\/p>\n
\n l’ordine dimensionale del problema (cio\u00e8, un problema nello spazio 3D
\n richiede calcoli integrali in R<\/b>3<\/sup>). <\/li>\n
\n peggiora al contorno. <\/li>\n
\n del problema \u00e8 quindi ricavabile mediante algoritmi estremamente veloci
\n ed efficienti. <\/li>\n
\n generalmente semplici. <\/li>\n
<\/font><\/p>\n
<\/p>\n
\ndi Laplace BEM si poggia sulla definizione di una soluzione
\nfondamentale<\/i> della [1], una funzione peso w<\/i> per la definizione
\ndegli elementi al contorno, soluzione della seguente: <\/font><\/p>\n![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image005.gif\")
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[3]<\/font><\/center><\/p>\n![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image007.gif\")
\u00e8 la
\nfunzione di Dirac<\/i>, singolare in ![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image008.gif\")
.
\nEsiste un elenco di soluzioni fondamentali note per varie equazioni e
\nrelative classi di problemi, ma non \u00e8 sempre possibile ricavarne una.
\n<\/font><\/p>\n
\nl’applicazione del teorema di Gauss-Green, consente di riscrivere la [2] in
\ntermini del solo contorno O<\/i>: <\/font><\/p>\n![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/fembem\/image006.gif\")
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 .\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 [4]<\/font><\/center><\/p>\n
\nfatto: il metodo BEM opera su una discretizzazione della frontiera o
\ncontorno del dominio.<\/i> La [4] viene quindi risolta per i singoli
\nsotto-intervalli oi<\/sub><\/i> del contorno, in modo analogo al caso
\nFEM. <\/font><\/p>\n
\nci\u00f2 comporta la riduzione di una dimensione: nel caso specifico, la
\nfrontiera \u00e8 monodimensionale mentre il dominio \u00e8 a due
\ndimensioni. <\/font><\/p>\n
\ngenerico, il metodo BEM \u00e8 caratterizzato dalle seguenti propriet\u00e0:
\n<\/font><\/p>\n <\/p>\n
\n una dimensione i termini del problema (cio\u00e8, se il dominio
\n \u00e8 a 3 dimensioni, le equazioni sono in R<\/b>2<\/sup>).
\n Tuttavia, alcune superfici al contorno, specialmente se 3D, sono
\n particolarmente complesse da modellare. <\/li>\n
\n contorno, le soluzioni in punti qualsiasi del dominio vengono calcolate
\n successivamente. I metodi BEM sono indicati quando si intendono
\n modellare fenomeni in punti particolari del contorno (es. resistenza
\n aerodinamica su un flap in estensione) o su regioni del dominio di
\n particolare interesse. <\/li>\n
\n soluzione esatta nel dominio \u00e8 infatti garantita dalla soluzione
\n fondamentale. <\/li>\n
\n quasi tutti gli elementi, il calcolo della soluzione pu\u00f2 essere
\n computazionalmente molto pesante. <\/li>\n
\n singolarit\u00e0 in grado di aumentare la complessit\u00e0
\n dell’algoritmo numerico adottato per il calcolo e di abbassare contemporaneamente
\n l’accuratezza della soluzione numerica. <\/li>\n
\n pu\u00f2 non essere applicabile persino per problemi lineari. <\/li>\n
\n complessa, a causa della presenza di integrandi contenenti
\n singolarit\u00e0. <\/li>\n