{"id":2512,"date":"2007-07-18T00:00:00","date_gmt":"2007-07-17T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2512","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2512\/","title":{"rendered":"Si sente parlare molto spesso della tecnica del fly-by che viene utilizzata per accelerare le sonde. Volevo alcune informazioni su questa tecnica (con qualche considerazioene matematica se potete… grazie). Alcune sonde vengono poi messe in orbita intorno a dei punti detti Lagrangiani, cosa sono in particolare? Grazie ancora."},"content":{"rendered":"

La tecnica del fly-by (o fionda gravitazionale, tanto che in inglese si parla di slingshot effect, appunto effetto fionda<\/span> o di gravity assist<\/span>) è un modo per "risparmiare carburante" utilizzando l’energia gravitazionale di un corpo in moto pe accelerare, semplicemente utilizzando principi base di meccanica celeste.
\nAd esempio la sonda Cassini<\/a>, che si trova attualmente in orbita attorno a Saturno, ha complessivamente risparmiato circa 75 tonnellate di carburante, utilizzando questo sistema piuttosto che la propulsione a motore.<\/p>\n

In questa precedente risposta<\/a> è già spiegato qualitativamente il comportamento dei corpi.<\/p>\n

Quantitativamente, i principi fisici che permettono il calcolo delle velocità finali in uscita da un fly-by sono :<\/p>\n

    \n
  1. conservazione della quantità di moto<\/li>\n
  2. conservazione dell’energia<\/li>\n<\/ol>\n

    infatti il sistema a due corpi è (approssimativamente, durante la fase di interazione gravitazionale) chiuso e isolato, e non sottoposto a forze esterne. Si tratta a tutti gli effetti di un urto elastico<\/span>.
    \nCiò che occorre osservare è che, al contrario dell’urto come lo intendiamo solitamente, è sufficiente una interazione fra i corpi per parlare di urto (diffusione o scattering<\/em>) in fisica.<\/p>\n

    Se i due corpi non interagiscono (oppure la loro interazione è debole, o avviene per un periodo troppo breve) si trascurano gli effetti dell’urto ed è il solo caso in cui le loro velocità restano inalterate.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Indicando con le lettere minuscole il corpo orbitante e con quelle maiuscole il corpo attorno a cui avviene il fly-by, e indicando con un apice le grandezze finali, la formulazione dei principi di conservazione, nel caso in cui il corpo che ha bisogno del gravity assist<\/em> si avvicini in direzione parallela al moto del corpo più grande ma con verso della velocità opposto e, dopo l’interazione gravitazionale, abbia una direzione di nuovo parallela ma con verso concorde al corpo più grande (o viceversa, prima concorde e poi discorde, facendo attenzione ai segni della velocità), è:<\/p>\n

    mv+MV=mv’+MV<\/font>‘ <\/span>per la quantità di moto
    \nmv<\/span>2<\/sup>+MV<\/span>2<\/sup>=mv’<\/span>2<\/sup>+MV’<\/span>2<\/sup><\/font> per l’energia cinetica<\/p>\n

    combinando le equazioni si ottiene <\/p>\n

    v’=2M\/(M+m)V+(M-m)\/(M+m)v<\/span><\/font><\/p>\n

    Poiché il corpo che va incontro al fly-by è tipicamente di massa molto minore (di diversi ordini di grandezza) rispetto al corpo attorno a cui<\/span> avviene il flyby, quest’ultimo mantiene sostanzialmente invariato il suo moto (V=V’<\/span>), inoltre sia (M+m)<\/span> che (M-m)<\/span> si possono confondere con M<\/span>, per cui v’=2V+v<\/span>.
    \n<\/span>Il risultato è lo stesso che si ottiene se un corpo di massa m<\/font> e velocità v<\/font> urta unidirezionalmente un corpo di massa M<\/font> e velocità V<\/font>.
    \n
    \nSe invece consideriamo il caso più generale:
    \n<\/span>
    \n\"\"<\/p>\n

    Se consideriamo il sistema di riferimento del corpo più grande, la conservazione dell’energia ci dice che il corpo in orbita mantiene il modulo della sua velocità; nel riferimento inerziale, il modulo della velocità aumenta tanto più quanto maggiormente la direzione del corpo si allinea a quella del pianeta attorno a cui avviene il fly-by.<\/p>\n

    Con i simboli indicati in figura, le leggi della trigonometria dicono che<\/p>\n

    v<\/span>f<\/sub>2<\/sup>=v<\/span>i<\/sub>2<\/sup> + 2V {V(1-cosβ) + v<\/span>i<\/sub> [cos(α-β)-cos α]}
    \nvf<\/sub> cos α’=V(1- cosβ) + vi<\/sub> cos(α-β)
    \nvf<\/sub> sen α’=V senβ + vi<\/sub> sen (α-β)
    \n<\/span><\/font>
    \nQuando β=0<\/span>, si ha v<\/span>i<\/sub>=v<\/span>f<\/sub> <\/span>e α’=α<\/span>. Come detto in precedenza, la velocità finale è massima quando si allinea con V<\/span>, che avviene per β<\/span>max<\/sub>=arctg (v<\/span>i<\/sub> sen α)\/(v<\/span>i<\/sub><\/font> cos α – V’).<\/font><\/p>\n

    <\/span>Dalle leggi di Keplero e dalle equazioni delle orbite, sappiamo che le orbite iperboliche<\/a>, hanno energia positiva ed eccentricità (ε) maggiore di 1. Poiché l’oggetto che effettua il fly-by percorre proprio un’orbita iperbolica, si può calcolare che l’angolo di deflessione β è dato da<\/p>\n

    β=2 arccos (-1\/ε)-π<\/span><\/font><\/p>\n

    i valori sono 2, l’angolo più piccolo deflette l’orbita che passa più lontano dal pianeta.<\/p>\n

    Tutti questi calcoli vengono effettuati trascurando le dimensioni del corpo attorno a cui si effettua il fly-by.
    \nIn realtà anche questo ha dimensioni finite, e solitamente paragonabili a quelle tipiche del fenomeno.
    \nPertanto va considerata la possibilità che il fly-by non può avvenire, ad esempio, a distanza minima più piccola del raggio del corpo interessato (pena la collisione, anche se in realtà è sufficiente che il corpo che deve effettuare il fly-by in qualche modo interagisca con l’atmosfera del pianeta).
    \nSi impone quindi una condizione sul minimo parametro d’impatto b<\/span>:
    \n

    \nb>R√[1+(2gR)(u<\/span>2<\/sup>)]<\/span><\/font><\/p>\n

    dove R<\/span> è il raggio del corpo attorno a cui avviene il fly-by, g<\/span> l’accelerazione di gravità sulla sua superficie, u<\/span> la velocità di avvicinamento a grande distanza.<\/p>\n

    Altre approssimazioni riguardano il fatto che il sistema sia isolato: un fly-by attorno a un pianeta avviene sempre nel campo gravitazionale del Sole, e di questo va tenuto conto, inoltre durante il fly-by, che richiede sempre qualche giorno, la velocità V non rimane costante, ruota un poco mentre il pianeta si muove sulla sua orbita, rispetto al riferimento inerziale.
    \nDi questi effetti si tiene conto nelle simulazioni numeriche delle orbite.<\/p>\n

    \nPer i punti lagrangiani, sempre Paolo Sirtoli ha risposto alla domanda in questa esauriente risposta<\/a>.
    \nIl motivo per cui in certe situazioni si mettono in orbita oggetti nei punti lagrangiani di un sistema, è che i punti condividono stabilmente l’orbita dell’oggetto che ruota, in quanto sono punti di equilibrio.
    \nQuindi ad esempio, un satellite posto in un punto lagrangiano ruota solidalmente al sistema, rimanendo sostanzialmente fermo rispetto ai due corpi del sistema.<\/p>\n

    Ci sono corpi che stabilmente occupano i punti lagrangiani (tipicamente L4 ed L5) di un sistema a 2 corpi:<\/p>\n