{"id":2493,"date":"2006-11-06T00:00:00","date_gmt":"2006-11-05T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2493","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2493\/","title":{"rendered":"Con un software conosco in tempo reale le distanze con la cometa di Halley. Come posso conoscere la sua velocit\u00e0?\r\nPosso utilizzare le 3 leggi di Keplero?"},"content":{"rendered":"

\"\"\/E\u2019 necessario innanzi tutto definire un sistema al quale riferirisi. Difatti la velocit\u00e0 \u00e8 un rapporto, tra la variazione di posizione di un punto ed il tempo impiegato a coprire quella variazione. D\u2019altra parte la posizione si pu\u00f2 definire solo rispetto ad un sistema. Si rende dunque necessario fissare un sistema di riferimento rispetto al quale definire la variazione della distanza. In questo modo possiamo calcolare la velocit\u00e0, rispetto al Sole, rispetto alla Terra, oppure ancora lungo l\u2019orbita e via dicendo.
Supponiamo per il momento che si voglia calcolare la velocit\u00e0 rispetto al Sole, dopodich\u00e9 se si vuole sapere rispetto ad un altro riferimento, ad esempio la Terra, sar\u00e0 sufficiente compiere una differenza (vettoriale!) tra la velocit\u00e0 della cometa e la velocit\u00e0 della Terra rispetto al Sole.
Esistono numerosi software liberi che forniscono dati sui vari corpi del sistema solare (tutti in generale piuttosto buoni, alcuni addirittura elaborano i dati forniti dal MPC dello Smithsonian Astrpohysical Observatory, l\u2019organo ufficiale preposto al monitoraggio dei corpi minori del Sistema Solare). Non so a quale si riferisce l\u2019autore della domanda ma prendiamo atto che esso fornisca valori attendibili. Se si esprimono le coordinate rettangolari nel sistema a cui si riferiscono \u00e8 sufficiente calcolare la differenza di posizione tra due date (a cavallo del giorno di interesse, ad esempio oggi) e dividere per l\u2019intervallo di tempo.
In formule, se al tempo 1 (t_1), abbiamo x_1, y_1, z_1 ed al tempo 2 (t_2) abbiamo x_2, y_2, z_2, la velocit\u00e0 la possiamo calcolare come<\/p>\n

(1) \"\"\/<\/p>\n

Le dimensioni sono quelle in cui sono espressi la posizione ed il tempo. Se vogliamo conoscere la velocit\u00e0 in km\/s ad esempio, dobbiamo esprimere la posizione in chilometri e la differenza di tempo in secondi (incidentalmente, se vogliamo passare da km\/s a km\/h dobbiamo moltiplicare la prima per 3600, i secondi presenti in un\u2019ora).
Le coordinate apparenti, vale a dire l\u2019ascensione retta e la declinazione o l\u2019azimut e l\u2019altezza per il luogo ed il tempo di osservazione (il che nella trattazione presente sono analoghi), non sono sufficienti a calcolare la velocit\u00e0. In linea di principio, con tre distinte osservazioni eseguite in tre date conosciute \u00e8 possibile ricavare la distanza effettiva e da essa, quindi, pure la velocit\u00e0. Il metodo fu ideato da Gauss, alle prese col pianetino Cerere che gli astronomi avevano perso dopo che era passato in congiunzione col Sole. Il metodo \u00e8 abbastanza complicato ed una trattazione esauriente necessiterebbe di pi\u00f9 tempo. Basti sapere solamente che ogni ellisse per essere definita nello spazio ha bisogno di 5 parametri. In aggiunta ce ne vuole un sesto per determinare la posizione corrente lungo l\u2019ellisse dell\u2019orbita, dunque 6 parametri in tutto. Ogni registrazione di posizione ne fornisce due (ascensione retta e declinazione). Con tre osservazioni distinte il cerchio si chiude.
Veniamo infine all\u2019ultima questione relativa all\u2019utilizzo delle leggi di Keplero.
Come noto, la terza legge esprime un rapporto tra il periodo e la distanza media di un astro dal Sole.<\/p>\n

(2) T2<\/sup>\/a3<\/sup>=costante<\/p>\n

con T il periodo di rivoluzione ed a il semiasse maggiore, nonch\u00e9 la distanza media. La costante vale 4 p2<\/sup>\/G(M+m)
dove M sta per la massa del Sole, m per la massa dell\u2019astro (la Terra, un pianeta, la cometa di Halley nella fattispecie) e G \u00e8 la costante di gravitazione universale del valore di circa 6.67 10-11<\/sup> m3<\/sup>\/(kg s2<\/sup>) (N.B. p sta per pigreco≈3.14).
Approssimando l\u2019ellisse ad un\u2019orbita circolare, con qualche passaggio algebrico, possiamo scrivere:<\/p>\n

(3) \"\"\/<\/p>\n

In ogni caso possiamo approssimare la somma delle due masse con la sola massa solare, pari a 1.99 1030 <\/sup>kg poich\u00e9 in ogni caso essa sovrasta di svariati ordini di grandezza quella di ogni altro corpo del Sistema Solare.
In teoria si potrebbe dunque supporre di calcolare in questa maniera la velocit\u00e0 della cometa di Halley. C\u2019\u00e8 invece un grave problema. Mentre i pianeti hanno orbite ellittiche quasi circolari la cometa di Halley ha una forte eccentricit\u00e0. Col calcolo precedente otteniamo una velocit\u00e0 media. I pianeti hanno un valore quasi costante, mentre una cometa, data l\u2019eccentricit\u00e0 dell\u2019orbita ha valori molto pi\u00f9 variabili. Possiamo allora sfruttare la seconda legge di Keplero, secondo la quale il raggio vettore che congiunge il Sole col pianeta (ma in realt\u00e0 \u00e8 valido per qualunque astro in orbita intorno al Sole) spazza aree uguali in tempi uguali. Attraverso una serie di passaggi algebrici si ottiene il seguente risultato:<\/p>\n

(4) r v2<\/sup>=costante<\/p>\n

dove r indica la distanza e v sempre la velocit\u00e0. Possiamo cos\u00ec calcolare la velocit\u00e0 con la (3) (di fatto con la terza legge di Keplero) alla distanza media, cio\u00e8 ad a e poi, mediante la (4) ricavare la velocit\u00e0 puntuale dividendo per la distanza del momento.
Si possono ottenere in questa maniera valori alquanto pi\u00f9 precisi anche se rimane pur sempre un problema. La (4) in realt\u00e0 \u00e8 rigorosa se si considera esclusivamente la componente tangenziale della velocit\u00e0. Al solito i pianeti, con eccentricit\u00e0 bassa, hanno i due valori confrontabili, invece per le comete il discorso non \u00e8 sempre vero.
Pertanto una trattazione con le leggi di Keplero pu\u00f2 fonire una stima, ma non sempre attendibile, del valore di velocit\u00e0 di un astro come una cometa. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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