{"id":245,"date":"2003-03-10T00:00:00","date_gmt":"2003-03-09T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"245","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/245\/","title":{"rendered":"Ho necessit\u00e0 di approssimare un insieme di punti con una curva di secondo grado. Dagli studi universitari ricordo che i coefficienti della curva interpolante si possono calcolare in modo abbastanza semplice, ma non ho pi\u00f9 disponibili gli appunti ed i testi di allora…"},"content":{"rendered":"

In questo articolo forniamo la descrizione formale del
\nmetodo di approssimazione ai minimi quadrati nel caso generico di polinomio
\ndi interpolazione di grado N<\/i>, presentando il risultato specifico nel
\ncaso N<\/i>\u00a0=\u00a02. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Le competenze richieste
\nper seguire la trattazione formale presentata sono di primo anno di
\nuniversit\u00e0 (facolt\u00e0 scientifiche). Si veda una precedente
\nrisposta<\/a> per il caso specifico N<\/i>\u00a0=\u00a01 (retta
\ninterpolante), dal taglio pi\u00f9 divulgativo, destinata a studenti di
\nliceo. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Sia <\/font><\/p>\n

{(x<\/i>i<\/sub>, y<\/i>i<\/sub>),
\ni<\/i>\u00a0=\u00a01,\u00a0…,\u00a0n<\/i>}
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[1] <\/font><\/p>\n

l’insieme degli n<\/i> punti da interpolare mediante
\nfunzione di interpolazione polinomiale di grado N<\/i>: <\/font><\/p>\n

\"\"\/.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[2] <\/font><\/center><\/p>\n

Il metodo dei minimi quadrati consiste nel determinare gli
\nN<\/i>\u00a0+\u00a01 coefficienti Ci<\/sub><\/i> in modo tale che la
\nsomma degli scarti quadratici tra gli n<\/i> valori yi<\/sub><\/i> da
\ninterpolare e i valori della funzione interpolante
\nf<\/i>(xi<\/sub><\/i>) sia minima. A tale scopo si definisce la
\nfunzione residuo<\/i> nel modo seguente: <\/font><\/p>\n

\"\"\/\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[3] <\/font><\/center><\/p>\n

e se ne ricerca un minimo mediante il seguente sistema di
\nN<\/i>\u00a0+\u00a01 equazioni nelle N<\/i>\u00a0+\u00a01 incognite
\nc<\/i>0<\/sub>,\u00a0…,\u00a0cN<\/sub><\/i>:<\/font><\/p>\n

\"\"\/,
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0p<\/i>\u00a0=\u00a00,\u00a01,\u00a0,\u00a0…,\u00a0n<\/i>
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[4] <\/font><\/center><\/p>\n

esprimibile nella forma matriciale <\/font><\/p>\n

A\u00a0c<\/u><\/i>\u00a0=\u00a0B<\/i>
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[5] <\/font><\/p>\n

dove c<\/u><\/i> \u00e8 il vettore delle N<\/i>\u00a0+\u00a01
\nincognite (c<\/i>0<\/sub>\u00a0,\u00a0…,\u00a0cN<\/sub><\/i>) e
\nla matrice simmetrica A<\/i> di N<\/i>\u00a0+\u00a01 righe per
\nN<\/i>\u00a0+\u00a01 colonne \u00e8 costituita dai seguenti valori
\nap,q<\/sub><\/i> di riga p<\/i> e colonna q<\/i>: <\/font><\/p>\n

\"\"\/,
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[6] <\/font><\/center><\/p>\n

dove xi<\/sub><\/i> sono gli n<\/i> valori ascissa
\nda interpolare, mentre il vettore colonna B<\/i> \u00e8 espresso da <\/font><\/p>\n

\"\"\/,
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[7] <\/font><\/center><\/p>\n

essendo u<\/u>j<\/sub><\/i> il vettore colonna
\n(0,\u00a0…,\u00a01,\u00a0…,\u00a00)t<\/sup> costituito da soli zero
\ned un solo 1 nella posizione j<\/i>-esima. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nel caso
\nN<\/i>\u00a0=\u00a02, l’espressione del sistema [4] e [5] diviene: <\/font><\/p>\n

\"\"\/
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[8] <\/font><\/center><\/p>\n

(tutte le sommatorie sono per
\ni<\/i>\u00a0=\u00a01,\u00a0…,\u00a0n<\/i>), un sistema di 3 equazioni
\nnelle tre incognite c<\/i>0<\/sub>, c<\/i>1<\/sub>,
\nc<\/i>2<\/sub>. Tutti gli altri termini sono infatti delle costanti
\ndate dalla sommatoria dei valori ascissa ed ordinata da interpolare. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La matrice A<\/i>
\ndella [5] \u00e8 simmetrica e definita positiva, prestandosi dunque
\nall’applicazione di algoritmi di risoluzione di sistemi matriciali piuttosto
\nefficienti. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Si supponga ad esempio
\ndi voler calcolare la parabola che approssimi ai minimi quadrati la serie di
\ncoppie <\/font><\/p>\n

(x<\/i>,\u00a0y<\/i>)\u00a0=\u00a0{(1,\u00a01.2),\u00a0(2,\u00a01),\u00a0(3,\u00a01.8),\u00a0(4,\u00a02)}.<\/font><\/p>\n

Applicando le [5], [6] e [7] otteniamo la formulazione matriciale del
\nproblema con le seguenti matrici: <\/font><\/p>\n

\"\"\/, <\/font><\/center><\/p>\n

da cui la soluzione
\nc<\/u><\/i>\u00a0=\u00a0A<\/i>-1<\/sup>B<\/i>\u00a0=\u00a0(6\/5,\u00a0-9\/50,\u00a01\/10)
\ne la relativa parabola di interpolazione <\/font><\/p>\n

\"\"\/. <\/font><\/center><\/p>\n

Appendice<\/font><\/h2>\n

Dimostriamo ora come dalla espressione della [4] si arrivi
\nalla formulazione matriciale [5], [6], [7]. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Calcoliamo
\nesplicitamente la derivata della funzione residuo rispetto al generico
\ncoefficiente cp<\/sub><\/i>: per brevit\u00e0, utilizziamo la
\nnotazione <\/font><\/p>\n

\"\"\/. <\/font><\/center><\/p>\n

Poich\u00e9 la derivata della somma \u00e8 pari alla
\nsomma delle derivate, espandiamo il binomio quadratico del residuo e ne
\ncalcoliamo la derivata: <\/font><\/p>\n

\"\"\/. <\/font><\/center><\/p>\n

Essendo yi<\/sub><\/i>2<\/sup>una costante, la sua
\nderivata \u00e8 nulla; inoltre, applicando la regola di derivazione delle
\nfunzioni composte, si ottiene: <\/font><\/p>\n

\"\"\/\u00a0=\u00a00.
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0[A1] <\/font><\/center><\/p>\n

Calcoliamo ora la derivata prima della funzione di
\ninterpolazione f<\/i>(xi<\/sub><\/i>) rispetto alla variabile
\ncp<\/sub><\/i> <\/font><\/p>\n

\"\"\/: <\/font><\/center><\/p>\n

trattandosi infatti di un polinomio, sopravvive solo il
\ntermine p<\/i>-esimo della funzione di interpolazione, che vede la
\nvariabile di derivazione moltiplicata per la costante
\nxi<\/sub>p<\/sup><\/i>. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Sostituendo l’ultima
\nespressione nella [A1] e semplificando si ottiene, quindi: <\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/center><\/p>\n

da cui, portando al secondo membro i termini noti e
\nriarrangiando i termini della sommatoria si ottiene: <\/font><\/p>\n

\"\"\/. <\/font><\/center><\/p>\n

Infine, applicando le propriet\u00e0 del prodotto di
\npotenze, <\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/center><\/p>\n

si ottiene, per p<\/i> e q<\/i> che variano da 0 a
\nn<\/i>, al primo e al secondo membro l’espressione del prodotto
\nAc<\/u><\/i> e del vettore colonna B<\/i>, rispettivamente. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-245","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/245","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=245"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/245\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=245"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=245"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=245"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}