{"id":2350,"date":"2005-10-27T00:00:00","date_gmt":"2005-10-26T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2350","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2350\/","title":{"rendered":"Vorrei dei chiarimenti circa il modello a bande di energia dei legami covalenti nei solidi. In particolare: com’\u00e8 possibile che due atomi dello stesso reticolo, anche se molto distanti, non possano avere lo stesso livello energetico? Come fanno a influenzarsi a vicenda?"},"content":{"rendered":"
La domanda cela forse una non piena comprensione del significato di struttura a bande. In effetti, la struttura a bande non implica il fatto che due atomi identici e distanti non possano avere la stessa energia. <\/span><\/font>
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Fermo restando il fatto che andrebbe chiarito cosa si intende con energia di un atomo entro una data struttura cristallina<\/span> (definibile soltanto con il ricorso alla teoria di Bader<\/a> che estende il formalismo quantistico ai sistemi aperti<\/span>, in grado di scambiare materia e energia con l’esterno), una struttura cristallina \u00e8 per definizione periodica<\/span> e ci\u00f2 equivale a dire che atomi identici, aventi il medesimo intorno chimico, si ripetono nella struttura secondo una data periodicit\u00e0<\/span>, dipendente dai parametri della cella elementare<\/span>. Tali atomi, indipendentemente dalla loro distanza (grande o piccola che sia) devono pertanto avere la stessa energia (avessero energie diverse, la struttura non sarebbe periodica e quindi cristallina).<\/p>\n

Una buona trattazione della struttura a bande nei solidi pu\u00f2 essere trovata in Internet, sul sito del Dipartimento di Chimica Strutturale dell’Universit\u00e0 di Milano.<\/a><\/p>\n

Diamo qui un resoconto breve (e un po’ tecnico) sugli aspetti fondamentali della teoria.
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La periodicit\u00e0 della disposizione degli atomi entro un cristallo pu\u00f2 essere vista come un’invarianza<\/span> del medesimo sotto l’azione di operatori di simmetria traslazionale<\/span>: se traslo l’intero cristallo (che considero infinito, ignorando quindi la presenza e gli effetti dovuti alla superficie) di una quantit\u00e0 (t<\/span>) pari, in modulo e direzione, a un vettore reticolare<\/span>, ottengo ancora il medesimo cristallo; tale operazione di traslazione \u00e8 dunque un’operazione di simmetria. L’insieme (infinito) di tutti gli operatori di simmetria traslazionale costituisce un gruppo<\/span> (T<\/span>) che commuta<\/span> con l’operatore Hamiltoniano<\/span> (H<\/span>; [H,t<\/span><\/span>] = Ht<\/span>–t<\/span>H <\/span>= 0, per ogni t<\/span> appartenente a T<\/span>). Un importante teorema dell’algebra lineare afferma che operatori che commutano tra loro hanno lo stesso insieme di autofunzioni<\/span>; nel caso specifico ci\u00f2 implica che le autofunzioni di H<\/span> possono essere scelte tra quelle appartenenti agli operatori di simmetria traslazionale. In particolare, \u00e8 possibile scegliere le autofunzioni di H<\/span> tra l’insieme di funzioni base per le rappresentazioni irriducibili<\/span> (IR<\/span>) del gruppo T<\/span>. Ciascuna IR<\/span> \u00e8 a propria volta etichettata<\/span> da un particolare vettore (k<\/span>) dello spazio reciproco<\/span>, che caratterizzer\u00e0 anche la corrispondente autofunzione di H<\/span>.<\/span><\/font>
\u00a0\u00a0 \u00a0<\/span><\/font>
Gli autovalori di H<\/span> (ciascuno associato a una data autofunzione) coincidono con le energie dei possibili stati elettronici in cui pu\u00f2 trovarsi l’intero cristallo. All’interno di un approccio monoelettronico<\/span>, dove la funzione d’onda multielettronica (autofunzione di H<\/span>) \u00e8 fattorizzata nel prodotto antisimmetrizzato<\/span> di funzioni d’onda monoelettroniche (gli orbitali cristallini<\/span>: l’analogo, in campo periodico, degli orbitali molecolari<\/span>, per le molecole), si ottengono, quali soluzione dell’equazione di Schroedinger, un insieme di autovalori [E<\/span>i<\/sub>(k<\/span>)] per ogni autofunzione di simmetria k<\/span>. Ci\u00f2 costituisce la struttura a bande: vale a dire,<\/span><\/font>
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l’insieme degli autovalori dell’operatore Hamiltoniano, nello spazio delle funzioni base per le rappresentazioni irriducibili del gruppo di simmetria delle traslazioni<\/span>.<\/span><\/font>
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Si tratta di un costrutto nello spazio reciproco (spazio dei momenti) e non nello spazio diretto. Ogni banda rappresenta la funzione Ei<\/sub>(k<\/span>)<\/span> al variare di k<\/span> nello spazio reciproco.
In campo molecolare ciascun Ei<\/sub><\/span> rappresenta l’energia dell’i<\/span>-esimo orbitale molecolare.
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Per una trattazione formale sull’argomento, si consulti il materiale pubblicato all’indirizzo www.prencipe.net\/disp\/disp.html<\/a>, in particolare il capitolo dedicato alla simmetria e alle strutture cristalline<\/a>.<\/span><\/font>
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