{"id":2330,"date":"2005-10-16T00:00:00","date_gmt":"2005-10-15T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2330","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2330\/","title":{"rendered":"Salve, soo uno studente di ingegneria, studiando la fisica quantistica ho un dubbio che nn sono riuscito a risolvere neanche su diversi libri… La domanda \u00e8 : “Come J. J. Thomson ricava il rapporto carica\/massa, specificatamente in tutti i passaggi, in quanto sui libri ho trovato sempre e solo la formula finale.. grazie"},"content":{"rendered":"
Il rapporto q\/m tra la carica e massa di un elettrone \u00e8 misurabile dal raggio di curvatura della traiettoria descritta dalla particella entro un campo magnetico B<\/span>.<\/font><\/p>\n

Indicando con lettere in grassetto i vettori, e con i<\/span>, j<\/span> e k<\/span>, i versori ortonormali nelle direzioni X, Y e Z rispettivamente, poniamo B<\/span>=Bk<\/span> (campo magnetico uniforme nella direzione Z; componenti Bx<\/sub> e By<\/sub> nulle, Bz<\/sub>=B). <\/font><\/p>\n

Un elettrone con carica q e velocit\u00e0 V<\/span> \u00e8 soggetto all\u2019azione della forza di Lorentz<\/font><\/p>\n

F<\/span> = q(V<\/span>xB<\/span>) (dove con x si intende l\u2019operazione di prodotto vettoriale).<\/font><\/p>\n

Poich\u00e8 F<\/span> = ma<\/span> (seconda legge della dinamica Newtoniana), dove a<\/span> \u00e8 l\u2019accelerazione (a<\/span>=dv<\/span>\/dt) risulta:<\/font><\/p>\n

dv<\/span>\/dt = q\/m V<\/span>xB<\/span>\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (1)<\/font><\/div>\n

Eseguendo il prodotto vettoriale V<\/span>xB<\/span>, (con B<\/span>=Bk<\/span>), si ha V<\/span>xB<\/span>=B(Vy<\/sub>i<\/span>-Vx<\/sub>j<\/span>), da cui, eguagliando le componenti nella (1):<\/font><\/p>\n

dVx<\/sub>\/dt=q\/m Vy<\/sub>B\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (2a)<\/font><\/div>\n
dVy<\/sub>\/dt=-q\/m Vx<\/sub>B\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (2b)<\/font><\/div>\n
dVz<\/sub>\/dt=0\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 (2c)<\/font><\/div>\n

L\u2019equazione (2c) ci dice che l\u2019elettrone non \u00e8 accelerato nella direzione Z.
<\/font>
Derivando la (2b) rispetto a t, otteniamo:<\/font><\/p>\n

d2<\/sup>Vy<\/sub>\/dt2<\/sup>=-qB\/m dVx<\/sub>\/dt = -q2<\/sup>B2<\/sup>\/m2<\/sup>Vy<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (3)<\/font><\/div>\n

Cerchiamo una soluzione per Vy<\/sub>(t) della forma <\/font><\/p>\n

Vy<\/sub>(t)=k1<\/sub>exp (ik2<\/sub>t) <\/font><\/div>\n

(con k1<\/sub> e k2<\/sub> costanti da definirsi). Derivando l\u2019espressione per Vy<\/sub>(t) risulta <\/font><\/p>\n

d2<\/sup>Vy<\/sub>(t)\/dt2<\/sup>=-k1<\/sub>k2<\/sub>2<\/sup>exp(ik2<\/sub>t) <\/font><\/div>\n

che, sostituita nella (3), porta all\u2019equazione<\/font><\/p>\n

-k2<\/sub>2<\/sup>+q2<\/sup>B2<\/sup>\/m2<\/sup>=0<\/font><\/div>\n

da cui: k2<\/sub>=\u00b1qB\/m\u00a0\u00a0 e<\/font><\/p>\n

Vy<\/sub>(t)=k1<\/sub>[exp(iqBt\/m)+exp(-iqBt\/m)]=2k1<\/sub>cos(qBt\/m)<\/font><\/div>\n

Sostituendo Vy<\/sub>(t) nella (2a) e integrando, si ottiene immediatamente<\/font><\/p>\n

Vx<\/sub>(t)=2k1<\/sub>sin(qBt\/m) + k3<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (4) <\/font><\/div>\n

dove k3<\/sub> \u00e8 una costante d\u2019integrazione. Ponendo Vx<\/sub>(0)=0 nella (4) (condizione iniziale: la componente della velocit\u00e0 nella direzione X, al tempo t=0, sia nulla), porta a k3<\/sub>=0.<\/font><\/p>\n

Supponendo che Vz<\/sub>(0) sia nulla [questa condizione iniziale, insieme con la (2c) ci dice che il moto dell\u2019elettrone sar\u00e0 confinato sul piano XY], abbiamo che <\/font><\/p>\n

V(0) = Vx<\/sub>2<\/sup>(0)+Vy<\/sub>2<\/sup>(0) = 4k1<\/sub>2<\/sup> —> k1<\/sub> = \u00b1V(0)\/2<\/font><\/div>\n

dove si \u00e8 indicato con V(0) il modulo della velocit\u00e0 con cui l’elettrone entra<\/span> nel campo magnetico B<\/span> all’istante t=0. Poich\u00e8 Vx<\/sub> = dx\/dt (e analoga definizione per la componente Vy<\/sub>), abbiamo<\/font><\/p>\n

dx\/dt = 2k1<\/sub> sin(qBt\/m) <\/font><\/div>\n
dy\/dt = 2k1<\/sub> cos(qBt\/m) <\/font><\/div>\n

da cui: <\/font><\/p>\n

x(t) = -V(0)m\/qB cos(qBt\/m) + k4<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 (5a)<\/font><\/div>\n
y(t) = V(0)m\/qB sin(qBt\/m) + k5<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 (5b)<\/font><\/div>\n

con k4<\/sub> e k5<\/sub> costanti di integrazione.\u00a0\u00c8 conveniente<\/span> porre le condizioni iniziali<\/font><\/p>\n

x(0)=-V(0)m\/qB<\/font><\/div>\n
y(0)=0<\/font><\/div>\n

da cui si ottiene k4<\/sub>=k5<\/sub>=0. Quadrando e sommando (5a) e (5b), otteniamo:<\/font><\/p>\n

x2<\/sup>(t) + y2<\/sup>(t) = V2<\/sup>(0)m2<\/sup>\/q2<\/sup>B2<\/sup>\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0 (6)<\/font><\/div>\n

La (6) \u00e8 l\u2019equazione di una circonferenza nel piano XY, di centro (0,0) e di raggio R = V(0)m\/qB. <\/font>
Il rapporto q\/m \u00e8 dunque ricavabile misurando R e usando la formula<\/font><\/p>\n<\/div>\n

q\/m = V(0)\/BR\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 (7)<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Il risultato finale [equazione (7)] dipende comunque dal particolare setting sperimentale utilizzato\u00a0 (che implica la scelta di specifiche condizioni iniziali e al contorno). Il modo di operare \u00e8 comunque valido in generale (fermo restando il quadro classico<\/span> entro il quale si \u00e8 trattato il moto dell’elettrone), vale a dire: si risolve l’equazione del moto\u00a0 a partire dall’equazione (1). <\/font>
<\/font><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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