{"id":2302,"date":"2005-10-18T00:00:00","date_gmt":"2005-10-17T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2302","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2302\/","title":{"rendered":"Qual’\u00e8 la formula che mi permette di conoscere a quale temperatura bolle l’acqua ad una determinata altezza sul livello del mare?"},"content":{"rendered":"
La domanda coinvolge due problemi che possono essere considerati distinti. Il primo riguarda l’andamento della pressione atmosferica con l’altitudine, il secondo la dipendenza della temperatura di ebollizione dalla pressione atmosferica. <\/span>
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Anche se questi due problemi sembrano semplici, in realt\u00e0 non lo sono affatto e le soluzioni complete non sono esprimibili in termini di una semplice formula che contempli le classiche operazioni disponibili su una calcolatrice. Abbiamo a disposizione due strade:<\/span>
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    \n
  1. adottare alcune semplificazioni che portino ad un risultato approssimato ma semplice,<\/span><\/font><\/li>\n
  2. costruire una tabella dei dati sperimentali disponibili ed utilizzare una procedura di interpolazione per ottenere la temperatura di ebollizione per una altitudine generica.<\/span><\/font><\/li>\n<\/ol>\n
    Per avere una buona precisione \u00e8 necessario seguire la strada delineata al punto due. Osserviamo per\u00f2 che una precisione eccessivamente spinta \u00e8 comunque inutile perch\u00e9 la pressione (e quindi la temperatura di ebollizione) dipende anche dalle particolari condizioni meteorologiche del punto di osservazione. Quindi, per una indicazione precisa, piuttosto che un altimetro GPS \u00e8 necessario un buon barometro e, naturalmente una tabella sperimentale che descriva la dipendenza della temperatura di ebollizione dalla pressione atmosferica.

    <\/span><\/font><\/div>\n
    <\/font><\/div>\n
    In questa sede ci occupiamo invece della prima strada descritta, cerchiamo cio\u00e8 di individuare un modello semplificato che, oltre a fornire un’utile approssimazione, ci permetta anche di comprendere alcuni aspetti qualitativi del fenomeno.<\/span><\/font><\/div>\n
    <\/font><\/div>\n
    Il risultato approssimato che otterremo \u00e8 il seguente:<\/span><\/font><\/div>\n

    Te<\/sub>(z) ~ 373 K \/ ( 1 + 8.8 10-6<\/sup> z ) <\/p>\n

    dove Te<\/sub>(z) \u00e8 la temperatura assoluta di ebollizione dell’acqua e z \u00e8 l’altitudine espressa in metri. Per ottenere la temperatura in gradi Celsius \u00e8 sufficiente sottrarre 273 K dalla temperatura assoluta.
    <\/font><\/font><\/font><\/p>\n

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    <\/div>\n<\/div>\n

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    \n
    Si pu\u00f2 verificare che per la cima del monte Everest ( z ~ 8800 m ) otteniamo una temperatura di 73 gradi centigradi, abbastanza vicina al dato di 70 gradi rintracciabile sul web con qualche minuto di googling.
    Questa formula implica inoltre che, almeno a basse quote, per ogni aumento unitario di z la temperatura di ebollizione scende di 3.3 millesimi di grado.
    <\/font><\/font><\/font><\/div>\n
    Nel seguito ci occuperemo di mostrare le approssimazioni alla base del risultato ottenuto.<\/font><\/font><\/font><\/div>\n

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    Dipendenza della pressione dall’altitudine.<\/span><\/span><\/span>
    <\/font>
    Trascuriamo ogni considerazione legata alle condizioni meteorologiche ed immaginiamo di avere un’atmosfera immobile e a temperatura costante. Trattiamo inoltre l’aria come gas perfetto, assumiamo quindi che la sua equazione di stato sia data da:<\/span>
    <\/font>
    p = n R Tatm<\/sub><\/span>
    <\/font>
    dove p \u00e8 la pressione, n \u00e8 il numero di moli per unit\u00e0 di volume, Tatm<\/sub> la temperatura ed R la costante universale dei gas uguale a 8,3144 J\/(mol*K).<\/span><\/font> Per i nostri scopi introduciamo la variabile z per indicare l’altitudine. Vogliamo determinare la funzione p(z) e, poich\u00e9 la temperatura \u00e8 supposta costante, dall’equazione di stato vediamo che n(z) \u00e8 proporzionale a p(z). Per avere una situazione di equilibrio meccanico ogni strato di aria deve essere sostenuto dagli strati sottostanti, quindi, per uno strato sottile di spessore dz all’altezza z dobbiamo avere<\/span>
    <\/font>
    g d n dz = p(z) – p(z+dz) = – dp
    <\/font>
    <\/font>dove g \u00e8 l’accelerazione terrestre e d \u00e8 la massa di una mole di gas. Possiamo riscrivere l’equazione nel seguente modo
    <\/font>
    <\/font>g d n = – dp\/dz
    <\/font>
    <\/font>ed utilizzando l’equazione di stato possiamo ricavare
    <\/font>
    <\/font>g d p = – R Tatm<\/sub> dp\/dz
    <\/font>
    <\/font>Integrando questa equazione differenziale otteniamo
    <\/font>
    <\/font>p(z) = C exp( – z g d\/R Tatm<\/sub> )
    <\/font>
    <\/font>dove C \u00e8 una costante arbitraria.
    <\/font>Sapendo che alla quota z=0 la pressione \u00e8 p0<\/sub> e la densit\u00e0 n0<\/sub> possiamo scrivere
    <\/font>
    <\/font>p(z) = p0<\/sub> exp( – z g d\/R Tatm<\/sub> )
    <\/font>n(z) = n0<\/sub> exp( – z g d\/R Tatm<\/sub> )
    <\/font><\/span><\/span><\/span><\/span><\/font><\/span><\/font><\/span><\/font><\/span><\/font><\/font><\/font><\/font><\/span><\/p>\n
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    La pressione diminuisce quindi in modo esponenziale con l’altezza e la lunghezza di dimezzamento di questo decadimento (il valore di z per qui la pres<\/font><\/span><\/span><\/span><\/span><\/font><\/span><\/font><\/span><\/font><\/span><\/font><\/font><\/font><\/font><\/span>sione \u00e8 met\u00e0 di quella a livello zero) \u00e8<\/p>\n

    z1\/2<\/sub> = log(2) R Tatm<\/sub>\/(g d)<\/p>\n

    che per l’azoto a temperatura ambiente vale approssimativamente 6000 metri.
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    \u00c8 ovvio che questo risultato \u00e8 fortemente condizionato dalle assunzioni iniziali, in particolare dall’ipotesi di temperatura costante che \u00e8 fortemente irrealistica. Si possono anche studiare dei modelli con assunzioni diverse, ad esempio quella adiabatica analizzata in una precedente risposta<\/a>.
    <\/font>
    <\/font>Comunque, per andare pi\u00f9 a fondo \u00e8 necessario ipotizzare un modello di trasporto del calore, includere una dinamica, distinguere fra le diverse componenti dell’atmosfera e cos\u00ec via, ma le cose si complicano notevolmente. <\/font><\/span><\/span><\/span><\/font><\/span><\/font><\/span><\/font>
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    Temperatura di ebollizione dell\u2019acqua in funzione della pressione. <\/p>\n

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    Le transizioni di fase, tra cui l\u2019ebollizione, sono manifestazioni collettive del comportamento microscopico delle molecole. Nonostante le caratteristiche della molecola dell\u2019acqua determinino completamente il comportamento macroscopico, \u00e8 comunque estremamente difficile utilizzare questa connessione per determinare quantit\u00e0 come appunto la temperatura di ebollizione.
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    Anche per questo problema sono necessarie delle semplificazioni. Innanzitutto quello a cui siamo interessati \u00e8 la cosiddetta tensione di vapore che \u00e8 definita nel seguente modo. Fissata una temperatura T consideriamo una certa quantit\u00e0 di acqua allo stato liquido sottoposta ad una forte pressione in un volume chiuso. Immaginiamo ora di aumentare progressivamente il volume. Ad un certo punto l\u2019acqua inizier\u00e0 a bollire e all\u2019interno del contenitore si former\u00e0 una certa quantit\u00e0 di vapore. La pressione alla quale inizia l\u2019ebollizione viene chiamata pressione di vapore che indichiamo con pv<\/sub>(T). Continuando ad aumentare il volume, il liquido si trasforma progressivamente in gas e la pressione rimane costante. Ad un certo punto tutto il liquido diventa gas e la pressione riprende a scendere con l’aumentare del volume1<\/sup>.<\/p>\n

    Per ogni temperatura il valore della pressione di vapore determina la condizione alla quale si verifica l’ebollizione. Questo significa che, fissata una pressione p, la temperatura di ebollizione \u00e8 determinata della condizione pv<\/sub>(T) = p.<\/p>\n

    Una strada molto semplice per stimare pv<\/sub>(T) consiste nel partire dal secondo principio della termodinamica e dedurre la seguente equazione detta di Clausius-Clayperon2<\/sup>:<\/p>\n

    L\/[ T ( Vg<\/sub> – Vl<\/sub> ) ] = dpv<\/sub>(T)\/dT<\/p>\n

    dove L \u00e8 il calore necessario per vaporizzare una mole di acqua, T \u00e8 la temperatura e Vg<\/sub> e Vl<\/sub> sono i volumi occupati rispettivamente da una mole di liquido e una mole di gas. Ovviamente L, Vg<\/sub> e Vl<\/sub> dipendono dalla temperatura ma, siccome per i nostri scopi siamo interessati solo all’interavallo da 0 a 100 gradi, possiamo assumere che Vl<\/sub> in questo intervallo sia trascurabile rispetto a Vg<\/sub>. Inoltre possiamo approssimare L(T) ad una costante nonostante questo sia molto meno giustificabile. Trattando inoltre il vapore come un gas perfetto possiamo scrivere<\/p>\n

    Vg<\/sub> = R T\/pv<\/sub>(T)<\/p>\n

    e quindi semplificare l’equazione di Clausius-Clayperon a<\/p>\n

    L pv<\/sub>(T)\/( R T2<\/sup>) = dpv<\/sub>(T)\/dt<\/p>\n

    Separando le variabili possiamo integrare e ottenere<\/p>\n

    pv<\/sub>(T) = C exp( -L\/R T )<\/p>\n

    dove nel nostro caso la costante C pu\u00f2 essere fissata dal fatto che a 100 gradi la tensione di vapore \u00e8 di una atmosfera.
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    Temperatura di ebollizione T<\/span>e<\/sub>(z) dell’acqua in funzione dell’altitudine.<\/span>

    A questo punto possiamo mettere assieme i due risultati:<\/p>\n

    p(z) = p0<\/sub> exp( – z g d\/R Tatm<\/sub> )<\/p>\n

    pv<\/sub>(T) = C exp( – L\/R T )<\/p>\n

    Uguagliando le due pressioni otteniamo<\/p>\n

    Te<\/sub>(z) = L\/(Cost. + z g d\/Tatm<\/sub> )<\/p>\n

    Possiamo utilizzare L ~ 4.5 104<\/sup> J\/mole, g ~ 10 m\/s, d ~ 2.9 10-2<\/sup>, Tatm<\/sub> ~ 273 K e fissare la costante richiedendo Te<\/sub>(z=0) = 373 K. Misurando z in metri si trova<\/p>\n

    Te<\/sub>(z) ~ 373 K \/ (1 + 8.8 10-6<\/sup> z )<\/p>\n

    che \u00e8 il risultato precedentemente anticipato e discusso.<\/p>\n

    Referenze:<\/span><\/p>\n

    1<\/sup>Una rappresentazione grafica di questo processo si pu\u00f2 trovare a questo link.<\/a>
    2<\/sup>Si veda per esempio The Feynman Lectures on Physics, volume I<\/span>, 45-3.
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