{"id":2203,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2203","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2203\/","title":{"rendered":"Salve sono un giovane studente di Fisica \u00e8 vorrei sapere perch\u00e9 alcuni matematici hanno problemi ad in inserire lo zero nell&#8217;insieme dei numeri naturali."},"content":{"rendered":"<h2>\n<font size=\"-1\"><font color=\"#cc0000\">[M]<\/font> <\/font>Il giocattolo<\/h2>\n<p>L&#8217;appartenenza dello zero ai numeri naturali \u00e8 un tema decisamente<br \/>\ncontroverso. Il problema non \u00e8 solamente di &#8220;alcuni&#8221; ma, purtroppo,<br \/>\ndi &#8220;tutti&#8221; i matematici.<br \/>\n<br \/>Tanto il decidere per l&#8217;inclusione, quanto per l&#8217;esclusione porta a<br \/>\nproblemi concettuali non banali. Questa,  la situazione attuale:<\/p>\n<ol>\n<li>\nNon esiste un accordo generalizzato per l&#8217;esclusione o l&#8217;inclusione dello<br \/>\nzero nei naturali<\/li>\n<li>\nCiascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell&#8217;inclusione)<br \/>\no di incompletezza (nel caso dell&#8217;esclusione) praticamente irrisolvibili.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Con buona pace del luogo comune &#8220;la matematica non \u00e8 un opinione&#8221;,<br \/>\nper renderci conto quanto sia assente  uno standard definito, osserviamo<br \/>\nle due modalit\u00e0 di  classificazione dei tipi di numeri.<br \/>\n<br \/>In alcuni istituti scolastici ed universitari americani e greci i numeri<br \/>\npopolarmente indicati come &#8220;senza virgola&#8221; sono classificati come segue:<br \/>\n <\/p>\n<ul>\n<li>\nnumeri naturali: 1,2,3,4,5&#8230;<\/li>\n<li>\nnumeri &#8220;whole&#8221; (integri &#8211; da non confondere con gli interi -): 0,1,2,3,4,5<br \/>\n&#8230;<\/li>\n<li>\nnumeri interi :  &#8230;-3,-2,-1,0,1,2,3 &#8230;<\/li>\n<\/ul>\n<p>Inoltre, sebbene sia una usanza deprecata dai pi\u00f9, i numeri positivi<br \/>\n1,2,3,4,5 vengono detti da alcuni &#8220;assoluti&#8221;, mentre vi \u00e8 accordo<br \/>\nassoluto sui numeri negativi -3, -2, -1. La distinzione tra numeri naturali<br \/>\ne &#8220;whole&#8221;, termine intraducibile (senza ambiguit\u00e0) per indicare<br \/>\ni naturali con lo zero incluso \u00e8 sfruttata per costruire pi\u00f9<br \/>\nagevolmente i razionali (popolarmente, i &#8220;numeri fratti&#8221; o &#8220;frazioni&#8221;)<br \/>\ndicendo che un numero razionale \u00e8 costruito dividendo un numero<br \/>\n&#8220;whole&#8221; per un naturale.<br \/>\n<br \/>Nel testo <a name=\"alg\"\/><a href=\"#alg\">&#8220;Algebra&#8221; <\/a>di riferimento<br \/>\ndel corso di Matematica all&#8217;Universit\u00e0 di Roma &#8220;La Sapienza&#8221; (cap.<br \/>\n2), l&#8217;insieme dei numeri naturali viene definito con lo zero incluso.<br \/>\n<br \/><a href=\"#russel_n\">Bertrand Russel<\/a>, in <a name=\"intro_fm\"\/><a href=\"#intro_fm_n\">&#8220;Introduzione<br \/>\nalla filosofia matematica&#8221;<\/a>(pag.20) asserisce, nel celebre brano: <\/p>\n<p><i>&#8220;Per una persona di cultura media, oggi, il punto ovvio di partenza<br \/>\ndella matematica sar\u00e0 la successione dei numeri interi (&#8220;whole&#8221;),<\/i><br \/>\n<br \/><i>1,2,3,4 &#8230;<\/i><br \/>\n<br \/><i>E&#8217; probabile che solo ad una persona che conosca un po&#8217; di matematica<br \/>\nverrebbe in mente di cominciare con lo 0 anzich\u00e9 da 1; presupponiamo<br \/>\ncomunque questo grado di cultura e prendiamo come nostro punto di partenza<br \/>\nla serie<\/i><br \/>\n<br \/><i>0,1,2,3,&#8230;,n,n+1,&#8230;<\/i><br \/>\n<br \/><i>questa sar\u00e0 la serie che chiameremo &#8216;la serie dei numeri<br \/>\nnaturali&#8217; &#8220;<\/i>.\n<\/p>\n<p>Purtroppo, nella edizione italiana &#8220;whole numbers&#8221; \u00e8 stato tradotto<br \/>\ncome &#8220;interi&#8221;, generando confusione con i veri e propri interi, ovvero<br \/>\nla serie dei relativi popolarmente nota come dei &#8220;numeri col segno&#8221;.<br \/>\n<br \/>Si osservi come Russel impieghi i termini &#8220;naturali&#8221; e &#8220;whole&#8221; in modo<br \/>\nopposto a quanto esposto prima.<br \/>\n<br \/>L&#8217;origine dei numeri naturali sembra essere dovuta alla necessit\u00e0<br \/>\ndi assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantit\u00e0.<br \/>\nQuesta operazione di astrazione \u00e8 stata una operazione sicuramente<br \/>\nnon banale che testimonia il nostro alto grado di civilt\u00e0. Lo stesso<br \/>\nRussel dice:\n<\/p>\n<p><i>&#8220;Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire<br \/>\nche una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni<br \/>\ndel numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non \u00e8 certo<br \/>\nlieve. (&#8230;) Quanto allo 0, \u00e8 una scoperta recentissima; i Greci<br \/>\ned i Romani non avevano questa cifra&#8221;.<\/i>\n<\/p>\n<p>In questo passo Russell usa un efficace gioco di parole sul termine<br \/>\ninglese &#8220;digit&#8221; che in italiano  significa sia &#8220;cifra&#8221; che &#8220;dito&#8221;.<br \/>\nQuindi lo zero \u00e8 sicuramente un numero particolare, poich\u00e9<br \/>\nnon \u00e8 corrispondente ad alcun &#8220;dito&#8221; e rappresenta la &#8220;quantit\u00e0<br \/>\ndi cose in un insieme di oggetti che non esiste&#8221;.<br \/>\n<br \/>Supponiamo di essere un gestore di una taverna nell&#8217;antica Roma che<br \/>\nabbia la necessit\u00e0 di tenere il conto del numero di bottiglie Falerno<br \/>\nin cantina. Il sistema dei numeri naturali pu\u00f2 essere un ottimo<br \/>\nstrumento per supportare il nostro lavoro.<br \/>\n<br \/>La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso,<br \/>\n\u00e8 incompleta senza un simbolo che indichi l&#8217;assenza di oggetti in<br \/>\nun insieme. Non saremmo infatti in grado di scrivere su un foglio l&#8217;evento<br \/>\n&#8220;non ci sono pi\u00f9 bottiglie in cantina&#8221;. Viceversa, l&#8217;inclusione<br \/>\ndello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell&#8217;insieme basata sull&#8217;assunto<br \/>\nche ogni numero \u00e8 corrispondente alla presenza di una quantit\u00e0<br \/>\ndi bottiglie. Lo zero sarebbe l&#8217;unico numero legato alla assenza di bottiglie.<br \/>\n<br \/>Quindi, mentre i numeri 1,2,3&#8230; sono legati ad una presenza concreta<br \/>\ndi oggetti, lo zero \u00e8 sicuramente speciale perch\u00e9 corrisponde<br \/>\nall&#8217;idea astratta dell&#8217;assenza di bottiglie.<br \/>\n<br \/>La difficolt\u00e0 di adottare il modello inclusivo o esclusivo \u00e8<br \/>\nquindi evidente: se i numeri naturali sono l&#8217;astrazione della misura di<br \/>\nuna quantit\u00e0 di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto &#8220;misura<br \/>\ndel vuoto&#8221; ?<br \/>\n<br \/>I matematici hanno, quindi, tanta  difficolt\u00e0 ad inserire<br \/>\nquanta ad escludere lo zero nei numeri naturali  (nei libri di matematica<br \/>\nlo zero \u00e8 apparso nella serie dei numeri naturali solo dagli anni<br \/>\n&#8217;60 in poi) perch\u00e9 adottando il modello inclusivo si ottiene un<br \/>\nsistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il fenomeno<br \/>\ndell&#8217;assenza. Ma includendo lo zero siamo costretti ripetutamente ad escluderlo<br \/>\ne a trattarlo come una eccezione quando si tentano di compiere ulteriori<br \/>\noperazioni sui naturali (ad esempio, nella costruzione dei numeri razionali<br \/>\nsiamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Viceversa, adottando<br \/>\nil modello esclusivo le incoerenze scompaiono ma non siamo pi\u00f9 in<br \/>\ngrado di rappresentare alcuni fenomeni, come la misura dell&#8217;insieme vuoto.<br \/>\n<br \/> \n<\/p>\n<h2>\n<font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[S\/U]<\/font><\/font> Quando il giocattolo<br \/>\nsi rompe.<\/h2>\n<p>Diamo uno sguardo pi\u00f9 da vicino alla definizione dei numeri naturali<br \/>\ned alle propriet\u00e0 che ne derivano.<br \/>\n<br \/>L&#8217;insieme N \u00e8 definito dai postulati di Peano<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[U]<\/font><\/font><br \/>\n<br \/><i>&#8220;Il sistema N dei numeri naturali \u00e8 un insieme N con una<br \/>\n<a href=\"#aplicaz_n\">funzione<\/a><br \/>\nsucc:N-&gt;N (la funzione &#8220;successore&#8221;) ed un elemento privilegiato 0 in N<br \/>\ntale che:<\/i><br \/>\n<br \/><i>1) succ \u00e8 <a href=\"#aplicaz_n\">iniettiva<\/a><\/i><br \/>\n<br \/><i>2) 0 non appartiene all&#8217;<a href=\"#aplicaz_n\">immagine<\/a> di succ<\/i><br \/>\n<br \/><i>3) qualsiasi sottoinsieme di U di N che abbia lo 0 e che contenga<br \/>\nil successore di ogni elemento di N e di U \u00e8 uguale a tutto N &#8220;<\/i><\/p>\n<p>In soldoni, il sistema dei numeri naturali N \u00e8 costruito nel<br \/>\nmodo seguente:<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[S]<\/font><\/font><br \/>\n<br \/>N ha un elemento iniziale, detto 0, ed una funzione di successore tale<br \/>\nche<br \/>\n<br \/>1) non esistono due numeri naturali con lo stesso successore<br \/>\n<br \/>2) lo 0 non \u00e8 successore di alcun numero naturale<br \/>\n<br \/>3) N \u00e8 l&#8217;unico insieme che contiene lo zero e tutti i suoi successori<br \/>\n(ovvero, ogni insieme che goda di questa propriet\u00e0 \u00e8 uguale<br \/>\nad N)\n<\/p>\n<p>Il terzo postulato di Peano \u00e8 importante perch\u00e9 definisce<br \/>\nil &#8220;principio di induzione matematica&#8221;, formulato nel modo seguente:<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[U]<\/font><\/font><br \/>\n<br \/><i>&#8220;Sia M un insieme ordinato, P una proposizione (o propriet\u00e0)<br \/>\ndefinita sugli<\/i><br \/>\n<br \/><i>elementi m di M e 0 il primo elemento di M:<\/i><br \/>\n<br \/><i>Se<\/i><br \/>\n<br \/><i>        P(0) \u00e8 vera<br \/>\n(passo base dell&#8217;induzione)<\/i><br \/>\n<br \/><i>e<\/i><br \/>\n<br \/><i>        P(m) \u00e8 vera<br \/>\n(ipotesi induttiva) =&gt; P(m+1) \u00e8 vera<\/i><br \/>\n<br \/><i>allora<\/i><br \/>\n<br \/><i>        P(m) \u00e8 vera per<br \/>\nogni m in M &#8220;<\/i>\n<\/p>\n<p>In soldoni:<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[S]<\/font><\/font><br \/>\n<br \/>Se M \u00e8 un insieme ordinato (ovvero \u00e8 definito un elemento<br \/>\niniziale 0 ed \u00e8 possibile stabilire in modo univoco il successore<br \/>\ndi ogni elemento in M). Sia inoltre P una propriet\u00e0 qualsiasi che<br \/>\nsia vera per lo 0.<br \/>\n<br \/>Se, supponendo che P sia vera per un elemento qualsiasi di M, riusciamo<br \/>\na dimostrare che P \u00e8 vera anche per il suo successore, allora P<br \/>\n\u00e8 vera per tutto M.\n<\/p>\n<p>I postulati di Peano consentono, quindi, di costruire l&#8217;insieme dei<br \/>\nnumeri naturali N partendo da un elemento iniziale ed utilizzando una funzione<br \/>\ndi costruzione del successore tramite un procedimento detto di &#8220;induzione<br \/>\nstrutturale&#8221;.<br \/>\n<br \/>La differenza tra il modello inclusivo ed esclusivo \u00e8 apparentemente<br \/>\nbanale: nel primo l&#8217;elemento privilegiato \u00e8 lo zero, nel secondo<br \/>\n\u00e8 l&#8217;uno.<br \/>\n<br \/>La costruzione dei naturali per induzione strutturale \u00e8 un procedimento<br \/>\nastratto; in altri termini nel procedimento non viene definito il &#8220;significato<br \/>\nconcreto&#8221; associato ad ogni elemento in N. In realt\u00e0 l&#8217;insieme dei<br \/>\nnumeri naturali \u00e8 nato per rappresentare la quantit\u00e0 di oggetti<br \/>\nin un dato insieme o, pi\u00f9 formalmente:<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[U]<\/font><\/font> <i>&#8220;Esiste un<br \/>\n<a href=\"#aplicaz_n\">isomorfismo<\/a><br \/>\ntra l&#8217;insieme N dei numeri naturali e la cardinalit\u00e0 degli insiemi<br \/>\nfiniti&#8221;<\/i>\n<\/p>\n<p>Al numero <i>n<\/i> corrispondono quindi gli insiemi finiti di <i>n<\/i><br \/>\npenne, <i>n<\/i> tavoli, <i>n<\/i> viaggi alle Maldive, ecc..<br \/>\n<br \/>E al numero 0 ? Che senso ha dire che al numero zero corrispondono<br \/>\n0 penne, 0 tavoli, 0 viaggi alle Maldive ?<br \/>\n<br \/>Non c&#8217;\u00e8 dubbio che allo zero spetti un trattamento decisamente<br \/>\nspeciale. Includendo lo zero nei numeri naturali si va incontro ad una<br \/>\nserie interminabile di eccezioni e paradossi, ad esempio:\n<\/p>\n<ul>\n<li>\nSe ad ogni numero naturale n corrisponde un insieme finito di n elementi,<br \/>\nal numero zero deve corrispondere un insieme finito di zero elementi. Ma<br \/>\nzero \u00e8 un numero finito ? In matematica i numeri possono essere<br \/>\nfiniti o infiniti, non c&#8217;\u00e8 via di mezzo. Per il principio di induzione<br \/>\nzero deve essere finito, altrimenti non vale il passo base dell&#8217;induzione<br \/>\ne nessun numero naturale sarebbe finito. Quindi, zero &#8220;deve essere&#8221; finito.<br \/>\nAllo stesso modo, l&#8217;insieme vuoto &#8220;deve essere&#8221; finito, per quanto sia<br \/>\ndifficile da digerire, in concreto.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>\nNella costruzione dell&#8217;insieme Q dei numeri razionali, un numero q = n\/m<br \/>\n\u00e8 finito se n ed m sono finiti. Nell&#8217;ipotesi che zero sia finito,<br \/>\nil rapporto n\/0 \u00e8 finito o no ? Se non \u00e8 finito, la regola<br \/>\n&#8220;il rapporto tra due numeri finiti \u00e8 un numero finito&#8221; \u00e8<br \/>\nvera o no ? Diciamo allora che \u00e8 sempre vera &#8220;tranne&#8221; per m = 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Il problema \u00e8 evidente. Il modello inclusivo \u00e8 sicuramente<br \/>\npi\u00f9 potente ma porta a dei paradossi decisamente complessi. Per<br \/>\nessere coerente, il modello inclusivo deve essere necessariamente astratto.<br \/>\nAccettando lo zero nei numeri naturali dobbiamo accettare una serie di<br \/>\nfatti non immediati come &#8220;lo zero \u00e8 un numero finito&#8221;, &#8220;gli insiemi<br \/>\nvuoti sono insiemi finiti&#8221;. In astratto il problema \u00e8 pressoch\u00e9<br \/>\ninesistente; ma proviamo a contare, in concreto, quanti oggetti sono in<br \/>\nquesta stanza: 4 monitor, 3 tavoli ,&#8230;, zero elefanti, zero calotte polari<br \/>\nartiche (per non contare gli oggetti di fantasia, tipo zero Sarchiaponi<br \/>\n&#8230;).<br \/>\n<br \/>Ancor peggio, anche adottando il modello esclusivo siamo costretti<br \/>\nad estendere l&#8217;insieme dei naturali creandone uno nuovo, con le stesse<br \/>\npropriet\u00e0 del modello inclusivo. Questo \u00e8 il caso dei &#8220;whole<br \/>\nnumbers&#8221;. Il potenziale espressivo dei naturali senza lo zero \u00e8<br \/>\ninsufficiente.<br \/>\n <\/p>\n<h2>\n<font color=\"#cc0000\"><font size=\"-1\">[S] <\/font><\/font>Ma \u00e8 possibile<br \/>\ncostruire un giocattolo che non si rompa ?<\/h2>\n<p>Si direbbe, quindi, che siamo perennemente condannati ad oscillare tra<br \/>\ncompletezza e coerenza. Scegliendo in direzione della coerenza perdiamo<br \/>\nin completezza, viceversa scegliendo la completezza perdiamo in coerenza.<br \/>\n<br \/>Da una domanda apparentemente banale come &#8220;ma \u00e8 cos\u00ec<br \/>\ndifficile includere lo zero nei numeri naturali?&#8221; arriviamo, di fatto,<br \/>\nal limite strutturale di tutti gli impianti concettuali e, azzardo, forse<br \/>\ndell&#8217;universo.<br \/>\n<br \/>Uno dei risultati pi\u00f9 sconcertanti della scienza dall&#8217;inizio<br \/>\ndel secolo sembra essere proprio il fatto che \u00e8 impossibile stabilire<br \/>\nun sistema che sia contemporaneamente completo, cio\u00e8 in grado di<br \/>\ncoprire tutti i fenomeni osservabili, e coerente, cio\u00e8 che non consenta<br \/>\ndi arrivare a dei paradossi o contraddizioni, partendo dalle stesse regole<br \/>\n(o assiomi) del sistema formale.<br \/>\n<br \/>Mi rendo conto che quanto sto per affermare (sottolineo: \u00e8 una<br \/>\nopinione personale) pu\u00f2 suscitare un vespaio di polemiche ma, a<br \/>\nmio avviso, il principio di indeterminazione di <a href=\"#heisenberg_n\">Heisenberg<\/a><br \/>\ned il teorema di <a href=\"#godel_n\">Godel<\/a> sono due espressioni di questo<br \/>\nlimite strutturale.<br \/>\n <\/p>\n<h4>\nPrincipio di Indeterminazione di Heisenberg<\/h4>\n<p><i>&#8220;Non possiamo mai conoscere contemporaneamente e con precisione la posizione<br \/>\ne la quantit\u00e0 di moto di una particella subatomica&#8221;<\/i><br \/>\n <\/p>\n<h4>\nTeorema di Incompletezza di Godel<\/h4>\n<p><i>&#8220;Per ogni sistema formale di regole ed assiomi \u00e8 possibile arrivare<br \/>\na proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale&#8221;<\/i><br \/>\n <\/p>\n<p>Entrambe le affermazioni postulano che \u00e8 impossibile formulare<br \/>\nun sistema che sia contemporaneamente coerente e completo e che tale impossibilit\u00e0<br \/>\n\u00e8 sia fisica (Heisemberg) che concettuale (Godel).<br \/>\n<br \/>E&#8217; fisicamente impossibile conoscere con completezza lo stato di una<br \/>\nparticella subatomica (qualitativamente: tutto l&#8217;universo \u00e8 fatto<br \/>\ndi particelle subatomiche) e se ci proviamo la nostra misurazione non pu\u00f2<br \/>\nessere coerente con le altre, perch\u00e9 imprecisa.<br \/>\n<br \/>E&#8217; concettualmente impossibile stabilire un sistema formale di regole<br \/>\ncoerente e completo che rappresenti  i fenomeni; eliminando gli assiomi<br \/>\nche possono portare alla contraddizione si perde in completezza, e viceversa.\n<\/p>\n<p>Il motivo per cui i matematici hanno tante difficolt\u00e0 ad inserire<br \/>\nlo zero nella serie dei numeri naturali \u00e8 per la impossibilit\u00e0<br \/>\ndi decidere nell&#8217;uno o nell&#8217;altro senso. In linea teorica \u00e8 possibile<br \/>\nastrarre il significato dei numeri naturali aggiungendo lo zero e sfruttando<br \/>\nil sistema formale ottenuto per modellare realt\u00e0 &#8220;locali&#8221; (cio\u00e8<br \/>\nlimitate ad un ambito specifico), ma \u00e8 certamente impossibile stabilire<br \/>\nuna volta per tutte e per tutti i fenomeni un modello unico di riferimento.<br \/>\n<br \/> \n<\/p>\n<h2>\nAppendice<\/h2>\n<h4>\n<a name=\"aplicaz_n\">Applicazioni o funzioni.<\/a><\/h4>\n<p><a name=\"aplicaz_n\">Una <i>applicazione<\/i> o <i>funzione<\/i> tra due insiemi \u00e8 un oggetto<br \/>\n<i>f<\/i><br \/>\nche mappa elementi di un insieme A in un altro insieme B, e si indica con<br \/>\n<br \/><i>f : A -&gt; B<\/i><br \/>\n<br \/><i>A<\/i> \u00e8 detto <i>Dominio<\/i> e <i>B<\/i> \u00e8 detto <i>Codominio<\/i><br \/>\ndella funzione <i>f<\/i>.<br \/>\n<br \/>L&#8217;insieme degli elementi distinti in <i>B<\/i> ottenuti applicando <i>f<\/i><br \/>\nad <i>A<\/i> \u00e8 detto &#8220;<i>immagine di A secondo f<\/i>&#8221; e si indica<br \/>\ncon<br \/>\n<\/a><\/p>\n<p><a name=\"aplicaz_n\"><i>f(A) := Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A}<\/i><br \/>\n<\/a><\/p>\n<p><a name=\"aplicaz_n\"><i>f<\/i> \u00e8 detta:<br \/>\n<\/a><\/p>\n<ul>\n<li>\n<a name=\"aplicaz_n\"><i>iniettiva<\/i>  se  <i>f(a) = f(b) &lt;=&gt; a = b per ogni a,<br \/>\nb in A<\/i><\/a><\/li>\n<li>\n<a name=\"aplicaz_n\"><i>suriettiva<\/i> se <i>f(A) = B<\/i><\/a><\/li>\n<li>\n<a name=\"aplicaz_n\"><i>biettiva<\/i> se f \u00e8 suriettiva ed iniettiva<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"aplicaz_n\">Se f \u00e8 biettiva si dice anche &#8220;<i>isomorfismo tra A e B<\/i>&#8221; o &#8220;<i>corrispondenza<br \/>\nuno a uno<\/i>&#8220;.<br \/>\n<br \/> <br \/>\n<\/a><\/p>\n<h4>\n<a name=\"russel_n\">Bertrand Russel<\/a><\/h4>\n<p><a name=\"russel_n\">1872-1970. Inglese, Matematico, Filosofo e molto, molto altro. Il suo lavoro<br \/>\nha influenzato in larghissima misura tutta la scienza del ventesimo secolo,<br \/>\nspecialmente per le implicazioni logiche e filosofiche. Il suo celebre<br \/>\nparadosso ha scosso dalle fondamenta gli impianti assiomatici e logici<br \/>\ndella matematica.<br \/>\n<br \/> <br \/>\n<\/a><\/p>\n<h4>\n<a name=\"heisenberg_n\">Werner Heisenberg<\/a><\/h4>\n<p><a name=\"heisenberg_n\">1901-1976. Fisco tedesco. Il padre della Meccanica Quantistica, la branca<br \/>\ndella fisica che tratta della emissione e dell&#8217;assorbimento di energia<br \/>\ndalla materia e del moto delle particelle. Il suo Principio di Indeterminazione,<br \/>\noltre ad un importante risultato in fisica, ha prodotto interminabili dibattiti<br \/>\nfilosofici sulla conoscibilit\u00e0 dell&#8217;universo.<br \/>\n<br \/> <br \/>\n<\/a><\/p>\n<h4>\n<a name=\"godel_n\">Kurt Godel<\/a><\/h4>\n<p><a name=\"godel_n\">1906-1978. Matematico e logico Ceco-Americano. Col suo teorema di incompletezza<br \/>\n(1931) ha dimostrato l&#8217;impossibilit\u00e0 di produrre sistemi formali<br \/>\ncoerenti.<br \/>\n<br \/> <br \/>\n<\/a><\/p>\n<h4>\n<a name=\"godel_n\" _moz-rs-heading=\"\">Bibliografia<\/a><\/h4>\n<p><a name=\"alg_n\">&#8220;Algebra&#8221; S. M. Lane e G. Birkhoff ed. Mursia <\/a><a href=\"#alg\">(&lt;)<\/a><br \/>\n<br \/><a name=\"intro_fm_n\">&#8220;Introduzione alla filosofia matematica&#8221;,Ed.<br \/>\nNewton Tascabili<\/a><a href=\"#intro_fm\">(&lt;)<\/a><br \/>\n <\/p>\n<h4>\nWWW Links (in inglese)<\/h4>\n<ul>\n<li>\n<a last_modified=\"911487430\" last_visit=\"911487430\" add_date=\"911487435\" href=\"http:\/\/www.mcmaster.ca\/russdocs\/russell.htm\">BERTRAND<br \/>\nRUSSELL ARCHIVES<\/a><\/li>\n<li>\n<a last_modified=\"902152418\" last_visit=\"911470079\" add_date=\"902152431\" href=\"http:\/\/forum.swarthmore.edu\/\">The<br \/>\nMath Forum Home Page<\/a><\/li>\n<li>\n<a href=\"http:\/\/www.cohums.ohio-state.edu\/philo\/godel.html\">Kurt Godel<\/a><\/li>\n<li>\n<a href=\"http:\/\/www.hofstra.edu\/Communities\/frame.html?bounce=\/Heisenberg\/index.html\">Werner<br \/>\nHeisenberg<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2>\n<a name=\"nota\">Nota<\/a><\/h2>\n<p><a name=\"nota\">All&#8217;inizio di ogni paragrafo ed in alcuni brani \u00e8 descritto il livello<br \/>\ndi preparazione scolastico necessario per affrontarne il contenuto:<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\">[E]<\/font>: Scuola Elementare<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\">[M]<\/font>: Scuola Media Inferiore<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\">[S]<\/font>: Scuola Media Superiore<br \/>\n<br \/><font color=\"#cc0000\">[U]<\/font>: Universit\u00e0<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-2203","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2203","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2203"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2203\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2203"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2203"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2203"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}