{"id":2202,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2202","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2202\/","title":{"rendered":"Osservando la serie dei quadrati dei numeri naturali ho notato che la differenza dei risultati \u00e8 la progressione dei numeri dispari.\r\nesempio:\r\nnumeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10..\r\nquadrati 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100.. \r\ndifferenza 3 5 7 9 11 13 15 17 19..\r\nEsiste una teoria sull’argomento?"},"content":{"rendered":"

Non serve una teoria per dimostrare quella propriet\u00e0 della
\nsuccessione dei quadrati, ma basta calcolare direttamente quant’\u00e8
\nla differenza tra due quadrati consecutivi, infatti:\u00a0
\n<\/p>\n

(n + 1)2<\/sup> – n2<\/sup> = n2<\/sup> + 2n + 1 –
\nn2<\/sup> = 2n + 1<\/center><\/p>\n

e quindi la differenza tra l'(n+1)-esimo quadrato e l’n-esimo quadrato
\n\u00e8 il numeri dispari 2n+1. Se si vuole generalizzare, c’\u00e8
\nbisogno di fare un’osservazione in pi\u00f9: dopo aver calcolato la successione
\ndelle differenze dei quadrati consecutivi, si pu\u00f2 calcolare la successione
\ndelle differenze dei termini consecutivi di quest’ultima e accorgersi che
\nsi ottiene una successione costantemente uguale a 2 ( ovviamente perch\u00e9
\n
\u00a0la differenza tra due numeri dispari consecutivi \u00e8 sempre
\n2). Un fenomeno simile si ha anche con i cubi dei numeri naturali:\u00a0\n<\/p>\n

<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\n
a<\/center>\n<\/td>\n
\n
b<\/center>\n<\/td>\n
\n
c<\/center>\n<\/td>\n
\n
d<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
0<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
1<\/center>\n<\/td>\n
\n
1<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
8<\/center>\n<\/td>\n
\n
7<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
27<\/center>\n<\/td>\n
\n
19<\/center>\n<\/td>\n
\n
12<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
64<\/center>\n<\/td>\n
\n
37<\/center>\n<\/td>\n
\n
18<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
125<\/center>\n<\/td>\n
\n
61<\/center>\n<\/td>\n
\n
24<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
216<\/center>\n<\/td>\n
\n
91<\/center>\n<\/td>\n
\n
30<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
343<\/center>\n<\/td>\n
\n
127<\/center>\n<\/td>\n
\n
36<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
512<\/center>\n<\/td>\n
\n
169<\/center>\n<\/td>\n
\n
42<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
729<\/center>\n<\/td>\n
\n
217<\/center>\n<\/td>\n
\n
48<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n
1000<\/center>\n<\/td>\n
\n
271<\/center>\n<\/td>\n
\n
54<\/center>\n<\/td>\n
\n
6<\/center>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

<\/center>
\n\u00a0\u00a0<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Nella colonna (a) sono stati messi i cubi dei primi 10 numeri naturali,
\nnella (b) le differenze di due termini consecutivi della colonna (a): 7
\n= 8 -1, 19 = 27 – 8… ; nella colonna (c) le differenze di due termini
\nconsecutivi della colonna (b) e nella (d) la differenza di due termini
\nconsecutivi della (c). Come per magia nella colonna (d) compare sempre
\nil numero 6! La cosa pi\u00f9 stupefacente \u00e8 che funziona anche
\ncon potenze pi\u00f9 grandi e in generale il metodo per dimostrare che
\nsi giunge sempre ad una successione costante \u00e8 identico a quello
\nusato sopra per i quadrati: provare per credere! Se uno si vuole proprio
\nsbizzarrire pu\u00f2 cercare di calcolare nei diversi casi quanto vale
\nla costante o trovare una dimostrazione semplice di tutto questo (magari
\ncon l’uso delle derivate).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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