{"id":2196,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2196","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2196\/","title":{"rendered":"Qual \u00e8 il massimo numero di cifre possibili del periodo di un numero periodico?"},"content":{"rendered":"

Il periodo dei numeri
\n razionali non \u00e8 limitato superiormente, questo fatto si dimostra osservando
\n che 1\/9 = 0.1111 \u2026. , 1\/99 = 0.010101\u2026, 1\/999 = 0.001001\u2026
\n eccetera. <\/font><\/p>\n

Nel seguito, per comodit\u00e0,
\n la parte periodica del espansione decimale di un numero viene indicata
\n mediante sottolineatura quindi, 0.025<\/u> = 0.0252525 \u2026. .<\/font><\/p>\n

Definizione<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Sia q<\/i> un numero
\n razionale tale che q=n\/m<\/i>, per m <\/i>non nullo. Il numero q
\n <\/i>\u00e8 detto periodico<\/i> se le cifre dopo la virgola mostrano una
\n ripetizione con intervallo di ripetizione fissato, detto periodo<\/i>.
\n <\/font><\/p>\n

Esempi di numeri periodici
\n sono 1\/6=0.16<\/u>, 1\/7=0.142857<\/u>, 1\/99 = 0.01<\/u><\/i>.<\/font><\/p>\n

Propriet\u00e0<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Le propriet\u00e0 attinenti
\n alla struttura della parte periodica dei numeri razionali sono molteplici
\n e coinvolgono la Teoria dei Gruppi, i numeri primi ed il lavoro di Fermat
\n (matematico e magistrato francese 1601-65, fondatore della Teoria dei
\n Numeri e della Probabilit\u00e0), in particolare il suo “Piccolo Teorema”.
\n La selezione di propriet\u00e0 esposte nel seguito consente di esaminare gli
\n aspetti interessanti ed accessibili del problema.<\/font><\/p>\n

    \n
  1. Un numero periodico
    \n pu\u00f2 mostrare una sequenza aperiodica di cifre subito dopo il punto decimale,
    \n come ad esempio 1\/24 = 0.416<\/u><\/i>.<\/font><\/li>\n
  2. Il numero q
    \n = 1\/(10<\/i>r<\/i><\/sup>-1)<\/i> ha periodo r<\/i> e vale
    \n q=0.0\u20261<\/u><\/i> ove la parte periodica \u00e8, appunto, lunga
    \n r<\/i> cifre.<\/font><\/li>\n
  3. Il massimo periodo
    \n di un numero q=n\/m<\/i> dipende unicamente dal denominatore m<\/i>.<\/font><\/li>\n
  4. Se q=n\/m <\/i>\u00e8
    \n periodico, non ha parte aperiodica dopo la virgola se e solo se m<\/i>
    \n \u00e8 un divisore di 10<\/i>r<\/i><\/sup>-1<\/i> per qualche r<\/i>.
    \n Ad esempio 1\/7=0.142857<\/u>=142857\/999999<\/i>; infatti 7<\/i>
    \n \u00e8 divisore di 999999<\/i> e, ovviamente, 999999\/7=142857<\/i>.<\/font><\/li>\n
  5. Non esiste alcun
    \n limite superiore alla lunghezza del periodo.<\/font><\/li>\n<\/ol>\n

    Le propriet\u00e0 1 e 2
    \n introducono due aspetti strutturali dei numeri periodici decisamente interessanti.
    \n In particolare, la propriet\u00e0 2 fornisce un metodo per costruire una base<\/i>
    \n per i numeri periodici senza parte aperiodica dopo il punto decimale.
    \n Ci\u00f2 significa che 1\/999<\/i> \u00e8 la base per costruire i numeri periodici
    \n con periodo 3<\/i>. La propriet\u00e0 2, unita alla 3, consente di scrivere
    \n numeri a periodo e parte periodica arbitraria. Ad esempio \u00e8 possibile
    \n scrivere 0.367<\/u><\/i> come 367*0.001<\/u> <\/i>ovvero a 367\/999<\/i>.
    \n Questa considerazione dimostra la propriet\u00e0 5 e risponde automaticamente
    \n alla domanda del lettore; infatti, non esiste alcun limite superiore ad
    \n un numero di r <\/i>cifre tutte pari a 9<\/i>, ovvero 10<\/i>r<\/i><\/sup>-1<\/i>.<\/font><\/p>\n

    La propriet\u00e0 4 si
    \n dimostra per assurdo in entrambo i versi di implicazione. Senza entrare
    \n in dettaglio (una prova formale sarebbe tediosa), supponendo che sia falsa
    \n si ottiene che 10<\/i>r<\/i><\/sup>-1<\/i> ha parte aperiodica
    \n dopo il punto decimale, il che \u00e8 assurdo. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    […]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-2196","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2196","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2196"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2196\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2196"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2196"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2196"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}