{"id":2189,"date":"2000-03-08T00:00:00","date_gmt":"2000-03-07T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2189","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2189\/","title":{"rendered":"Sono un giovane studente di matematica e vorrei sapere se esistono algoritmi approssimati che diano i valori di tutte le funzioni trigonometriche di qualsiasi angolo e non solo di quelli particolari.Grazie"},"content":{"rendered":"

Approssimazione di funzioni tramite serie di
\n potenze<\/font><\/b><\/i><\/p>\n

Il lavoro dei matematici Taylor<\/i> e Maclaurin<\/i>
\n ha prodotto un importantissimo metodo di approssimazione di funzioni in
\n serie di potenze, oggi largamente applicato nel calcolo numerico e nelle
\n moderne macchine calcolatrici elettroniche. Gli strumenti matematici che
\n consentono l\u2019applicazione dei risultati di Taylor e Maclaurin si apprendono
\n in quinta liceo scientifico o nel primo anno di universit\u00e0, nelle
\n facolt\u00e0 scientifiche. In questa sede verranno esposti i esclusivamente
\n i risultati.<\/font><\/p>\n

Una serie di potenze \u00e8 un polinomio di infiniti
\n termini della forma<\/font><\/p>\n

\"\"\/\t\t[1]<\/font><\/p>\n

la serie di potenze in [1] \u00e8 detta “centrata
\n in a<\/i>” e i cn<\/sub> <\/i>sono detti coefficienti<\/i>
\n della serie di potenze<\/i>.<\/font><\/p>\n

Se esiste una serie di potenze che converge ad una funzione
\n f(x)<\/i>, allora la funzione \u00e8 detta analitica<\/i>. Ci\u00f2
\n implica l\u2019esistenza di una funzione R(n)<\/i> detta resto <\/i>dell\u2019espansione
\n parziale in serie di potenze<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"\/\t[2]<\/font><\/p>\n

in n<\/i> termini. Se f(x) <\/i>\u00e8 analitica,
\n quindi, il resto R(n)<\/i> converge a zero al crescere di n<\/i>.<\/font><\/p>\n

La formula di Taylor <\/i>fornisce l\u2019espressione dell\u2019espansione
\n in serie di potenze di una funzione analitica f(x)<\/i>:<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"\/\t[3]<\/font><\/p>\n

la serie di potenze \u00e8 detta di
\n Maclaurin<\/i> se a=0<\/i> e l\u2019espressione f(i)<\/sup>(x)<\/i>
\n \u00e8 la derivata di ordine i-mo<\/i> della funzione f(x)<\/i>.<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Approssimazione delle funzioni trigonometriche<\/font><\/i><\/b><\/p>\n

L\u2019approssimazione delle funzioni trigonometriche pu\u00f2
\n essere operata applicando quindi la serie di Maclaurin.<\/font><\/p>\n

L\u2019espansione polinomiale della funzione seno<\/i> vale,
\n quindi,<\/font><\/p>\n

\"\"\/\t[4]<\/font><\/p>\n

ed ha coefficienti unitari ma di segni alterni ed esponenti
\n dei termini dispari.<\/font><\/p>\n

La figura 1 illustra graficamente le approssimazioni successive
\n per lunghezze crescenti dell\u2019espansione polinomiale in serie di potenze.
\n della funzione seno<\/i>. I numeri in rosso rappresentano il grado dell\u2019espansione
\n polinomiale raffigurato.<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Fig.1: Espansione polinomiale della funzione
\n sin(x)<\/i><\/font><\/p>\n

Si osservi come, al crescere della lunghezza dell\u2019espansione
\n in serie, i polinomi approssimino con precisione crescente la funzione
\n seno<\/i>.<\/font><\/p>\n

Analogamente, la funzione coseno<\/i> si approssima
\n con:<\/font><\/p>\n

\"\"\/\t[5]<\/font><\/p>\n

e le approssimazioni delle altre funzioni trigonometriche
\n possono essere ricavate mediante l\u2019applicazione della formula di Taylor
\n o sostituendo la [4] e la [5] nelle propriet\u00e0 che le definiscono.<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Note biografiche<\/font><\/i><\/b><\/p>\n

Taylor (Brook), <\/b><\/font>matematico inglese
\n (1685-1731). Nella sua opera principale, Methodus incrementorum directa
\n et inversa <\/i>(1715), introdusse il calcolo delle differenze finite,
\n abbozz\u00f2 la determinazione degli integrali singolari delle equazioni
\n differenziali e studi\u00f2 i cambiamenti di variabili.<\/font><\/p>\n

Maclaurin (Colin)<\/b>, matematico scozzese (Kilmoddan
\n 1698 – Edimburgo 1746). Fu uno dei pi\u00f9 insigni discepoli di Newton.
\n Si dedic\u00f2 alla geometria pura, all’algebra e al calcolo infinitesimale
\n di cui svilupp\u00f2 con genialit\u00e0 i princ\u00ecpi. Nel suo
\n De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus<\/i>,
\n oltre alla famosa formula che \u00e8 nota ancora oggi con il nome di
\n formula di M., vi si trova trattato il problema dell’attrazione esercitata
\n da un ellissoide sopra un punto situato sulla sua superficie oppure interno
\n a essa e vi \u00e8 rivelata la scoperta delle configurazioni sferoidali
\n d’equilibrio di una massa fluida omogenea soggetta a un moto rotatorio.<\/font><\/p>\n

(fonte: Enciclopedia Multimediale Rizzoli \u201998)<\/i><\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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