{"id":2188,"date":"2000-04-22T00:00:00","date_gmt":"2000-04-21T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2188","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2188\/","title":{"rendered":"Esiste, un metodo matematico alternativo al calcolo differenziale che permetta di conoscere la tangente di una curva analitica in un suo punto?"},"content":{"rendered":"<p>Prima di rispondere a questa domanda \u00e8 necessario dare alcune precisazioni<br \/>\n        preliminari.<\/p>\n<p>Si chiama curva piana il luogo geometrico dei punti P del piano le cui<br \/>\n        coordinate soddisfano ad un\u2019equazione del tipo <i>f(x,y)=0<\/i>, (questa<br \/>\n        \u00e8 detta equazione implicita dalla curva), dove <i>f<\/i> \u00e8 una funzione<br \/>\n        definita in una certa regione del piano (dominio) ed ivi continua con<br \/>\n        le sue derivate parziali.<\/p>\n<p>Data una funzione g(x), definita in intervallo dell\u2019asse reale <sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"14\" height=\"13\" v:shapes=\"_x0000_i1025\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image002.gif\" alt=\"\"\/><\/sub>, ed in esso continua con<br \/>\n        la sua\u00a0 derivata prima, l\u2019insieme\u00a0 <i>C<\/i> dei punti del piano, formato<br \/>\n        dai punti del tipo <i>(x,y),<\/i> avendo posto <i>y=g(x)<\/i>, \u00e8 una particolare<br \/>\n        curva del piano detta \u201cgrafico della funzione <i>g<\/i>\u201d, ed \u00e8 rappresentata<br \/>\n        da dall\u2019equazione implicita f<i>(x,y)=g(x)-y=0<\/i> , <\/p>\n<p>Si chiama retta tangente ad una curva<i> C <\/i>in un suo punto <i>P(x<sub>0<\/sub>,y<sub>0<\/sub>),<br \/>\n        <\/i>la retta del piano avente equazione<\/p>\n<p><i>Ax+By+C=0<\/i> con <i>A, B,C<\/i> dati da:<\/p>\n<p><sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"420\" height=\"55\" v:shapes=\"_x0000_i1026\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image004.gif\" alt=\"\"\/><\/sub>.<\/p>\n<p>Nel caso di funzione nella sola variabile reale <i>g(x),<\/i> eseguendo<br \/>\n        i calcoli si trova che la tangente al grafico della funzione nel punto<br \/>\n        di coordinate <i>(x<sub>0<\/sub>,,g(x<sub>0<\/sub>))<\/i>, ha equazione <i>y=<br \/>\n        g\u2019(x<sub>0<\/sub>)x+y<sub>0<\/sub>+g\u2019(x<sub>0<\/sub>)x<sub>o<\/sub><\/i>; in<br \/>\n        quest\u2019equazione g\u2019(x<sub>0<\/sub>) rappresenta il coefficiente angolare<br \/>\n        di tale retta.<\/p>\n<p>Come si vede, per una generica curva del piano (e pi\u00f9\u00a0 in generale, anche<br \/>\n        dello spazio), il concetto di retta tangente \u00e8 strettamente legato, proprio<br \/>\n        per definizione al calcolo differenziale.<\/p>\n<p>Tuttavia esiste un particolare tipo di curve del piano per le quali \u00e8<br \/>\n        possibile definire e calcolare la retta tangente, senza far uso del calcolo<br \/>\n        differenziale. Queste\u00a0 curve prendono il nome di curve algebriche; un<br \/>\n        esempio notevole di queste \u00e8 fornito dalle coniche (ellissi, iperbole,<br \/>\n        ecc..). Si chiama curva algebrica d\u2019ordine n una curva <i>C<sup>n<\/sup><\/i><br \/>\n        del piano in cui f(x,y) \u00e8 un polinomio di grado complessivo pari a n;<br \/>\n        ad esempio la curva\u00a0 <i>6x<sup>4<\/sup>y<sup>2<\/sup>+5x<sup>3<\/sup>y<sup>3<\/sup>-10x<sup>2<\/sup>y<sup>3<\/sup>+2xy-5y+33=0<\/i><br \/>\n        \u00e8 una curva algebrica d\u2019ordine 6 (\u00e8 il numero pi\u00f9 grande che si ottiene<br \/>\n        sommando gli esponenti dei singoli monomi 4+2=6; 3+3=6; 2+3=5; 1+1=2 ;<br \/>\n        1; 0). Una conica \u00e8 una curva algebrica d\u2019ordine 2.<\/p>\n<p>Preso un punto <i>P<sub>0<\/sub><\/i> sulla cura <i>C<sup>n<\/sup><\/i>,<br \/>\n        consideriamo il fascio di rette di centro <i>P<sub>0<\/sub><\/i>, tutte<br \/>\n        le retta di questo fascio ovviamente intersecano <i>C<sup>n<\/sup><\/i><br \/>\n        nel punto <i>P<sub>0<\/sub><\/i>, ma fra di esse ve n\u00e9 una in particolare<br \/>\n        (indicandola con <i>r: ax+by+c=0<\/i>), che \u201cinterseca <i>C<sup>n<\/sup><\/i><br \/>\n        nel punto P<sub>0<\/sub> due volte\u201d, cio\u00e8, il punto <i>P<sub>0<\/sub>(x<sub>0<\/sub>,,y<sub>0<\/sub>)<br \/>\n        <\/i>\u00e8 soluzione doppia del sistema:<\/p>\n<p>\u00a0<sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"142\" height=\"67\" v:shapes=\"_x0000_i1027\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image006.gif\" alt=\"\"\/><\/sub><\/p>\n<p>questa retta prende il nome di retta tangente in <i>P<sub>0<\/sub><\/i>.<\/p>\n<p>Vediamo adesso come si calcola la tangente. Supponiamo dapprima che la<br \/>\n        curva passi per l\u2019origine, ossia <i>f(0,0)=0<\/i>, allora in tal caso l\u2019equazione<br \/>\n        della retta tangente, nell\u2019origine, si ottiene eguagliando a zero i termini<br \/>\n        di 1\u00b0 grado, ad esempio data la curva <i>C<sup>4<\/sup>: x<sup>3<\/sup>y+x<sup>2<\/sup>y<sup>2<\/sup>-2xy+3x-4y=0<\/i>,<br \/>\n        allora l\u2019equazione della retta tangente \u00e8 data da<i>: 3x-4y=0<\/i>. Se<br \/>\n        il punto <i>P<sub>0<\/sub><\/i> \u00e8 diverso dall\u2019origine, si trasforma la\u00a0<br \/>\n        curva <i>C<sup>n<\/sup><\/i><sup> <\/sup>mediante la traslazione <\/p>\n<p><sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"103\" height=\"61\" v:shapes=\"_x0000_i1028\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image008.gif\" alt=\"\"\/><\/sub>\u00a0<\/p>\n<p>che \u201ctrasporta\u201d il punto <i>P<sub>0<\/sub><\/i> nell\u2019origine; si trova<br \/>\n        poi la tangente\u00a0 nell\u2019origine della curva trasformata, e mediante la traslazione<br \/>\n        inversa:<\/p>\n<p>\u00a0<sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"105\" height=\"59\" v:shapes=\"_x0000_i1029\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image010.gif\" alt=\"\"\/><\/sub><\/p>\n<p>si trasforma l\u2019equazione di questa retta , ottenendo cos\u00ec la tangente<br \/>\n        cercata.<\/p>\n<p>Quanto detto vale solo per i punti semplici, esistono particolari tipi<br \/>\n        di punti\u00a0 della curva C<sup>n<\/sup> (detti punti multipli) per i quali<br \/>\n        il discorso fatto in precedenza si complica leggermente e non sembra opportuno<br \/>\n        parlarne in questa sede.<\/p>\n<p>\u00a0Trattazione a parte meritano le coniche non degeneri (ellissi, iperboli<br \/>\n        e parabole).\u00a0 Considerata una generica conica non degenere, d\u2019equazione<br \/>\n        <i>C<sup>2<\/sup>:<\/i> <i>ax<sup>2<\/sup>+bxy+cy<sup>2<\/sup>+dx+ey+f=0<\/i>,<br \/>\n        e preso un punto <i>P<sub>0<\/sub>(x<sub>0<\/sub>,y<sub>0<\/sub><\/i>) su<br \/>\n        di essa, l\u2019equazione della retta tangente a <i>C<sup>2<\/sup><\/i> nel punto<br \/>\n        <i>P<sub>0<\/sub><\/i> ,si ottiene dall\u2019equazione della conica, sostituendo<br \/>\n        in essa, rispettivamente:<\/p>\n<p>\u00a0<sub><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"305\" height=\"158\" v:shapes=\"_x0000_i1030\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image012.gif\" alt=\"\"\/><\/sub><\/p>\n<p>e quindi l\u2019equazione della retta tangente risulta essere:<\/p>\n<p align=\"center\"><sub> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"53\" v:shapes=\"_x0000_i1031\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/tan\/img\/image014.gif\" alt=\"\"\/><\/sub><\/p>\n<p>Questa regola prende il nome di legge di sdoppiamento delle tangenti.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":272,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2188","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2188","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/272"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2188"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2188\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2188"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2188"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2188"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}