{"id":2186,"date":"2000-05-18T00:00:00","date_gmt":"2000-05-17T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2186","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2186\/","title":{"rendered":"Il problema che vi propongo \u00e8 facilmente risolvibile (dato il numero di termini) sia con MATHEMATCA che con una programmazione qualunque basic, turbo c ecc.) ma trovare la formula che dia la somma di una progressione con ragione variabile non rieco a trovarla.\r\nPer le altre progressioni (a ragione fissa) non ci sono problemi ma per questa si !\r\nProgressione = 1^2+2^2+3^2…..etc.(1+4+9+16….)\r\nLa ragione \u00e8 a sua volta una progressione per fortuna fissa (1,3,5,7,9….).\r\nLa formula risolutiva l’ho trovata in un formulario S=n*(n+1)*(2+n+1)\/6 ma non riesco a ricavarla."},"content":{"rendered":"

L\u2019espresione da lei
\n cercata, la somma dei primi n<\/i>
\n quadrati perfetti\u00a0 <\/span>\u00e8<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[1]<\/span><\/span><\/p>\n

Rammentiamo brevemente
\n che la somma dei primi n<\/i> numeri
\n naturali \u00e8<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span>[2]<\/span><\/span><\/p>\n

La leggenda vuole
\n che a scoprirla sia stato il genio di Gauss, in tenera et\u00e0, grazie ad
\n una elegante intuizione geometrica. Si osservi la figura 1:<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/span><\/p>\n

Fig. 1: La somma dei primi n <\/i>naturali \u00e8 pari alla semiarea del rettangolo di lati n<\/i> ed n+1<\/i><\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

La chiave risolutiva
\n \u00e8 l\u2019osservazione che il numero di quadrati tratteggiati (ovvero la somma
\n dei primi 3 numeri naturali) \u00e8 pari alla semiarea del triangolo di lati
\n 4 e 3. Da qui, la [2].<\/span><\/p>\n

La formale dimostrazione
\n della 1, ottenuta intuitivamente, si completa utilizzando il principio di induzione<\/i>:<\/span><\/p>\n

Sia p(n)<\/i> una propriet\u00e0,<\/span><\/p>\n

1)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>se p(n) <\/i>\u00e8 verificata per n=0<\/i> (passo base del principio di induzione)<\/span><\/p>\n

2)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>se p(n)<\/i> \u00e8 verificata implica (ipotesi induttiva)
\n che p(n+1) <\/i>\u00e8 verificata <\/span><\/span><\/p>\n

allora p(n) <\/i>\u00e8 verificata per tutti i numeri naturali
\n n<\/i>.<\/span><\/p>\n

Al lettore va l\u2019esercizio
\n di applicazione del principio d\u2019induzione alla dimostrazione della [2].<\/span><\/p>\n

Confesso che il quesito
\n del lettore mi ha dato da pensare un bel p\u00f2. Alla fine, la chiave per
\n ricavare l\u2019espressione cercata sta proprio nell\u2019uso di un criterio geometrico.<\/span><\/p>\n

Si osservi la fig.
\n 2:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/span><\/p>\n

Fig. 2: Solido con volume pari alla somma dei primi
\n n<\/i> quadrati perfetti <\/span><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

La figura 2 \u00e8 ottenuta impilando i quadrati di lato 1×1, 2×2, 3×3 e 4×4.
\n La somma dei primi n<\/i> quadrati perfetti \u00e8 quindi pari al numero
\n di cubetti della figura costruita reiterando n<\/i> volte il procedimento. <\/p>\n

Ora, si prenda un
\n coltello ben affilato e si affetti la figura 2 partendo dai cubetti grigi
\n di sinistra e si osservi la figura ritagliata. A cosa assomiglia ?<\/span><\/p>\n

Il numero di cubetti
\n ritagliati \u00e8 pari alla somma dei primi 4 numeri naturali !<\/span><\/p>\n

A questo punto, reiterariamo\u00a0
\n <\/span>il processo e consideriamo la differenza in numero di cubetti tra
\n il taglio corrente ed il primo taglio:<\/span><\/span><\/p>\n

Primo taglio: 10 cubetti
\n eliminati
\n <\/span>Secondo taglio: 9 cubetti eliminati,
\n differenza : 10-9 = 1
\n <\/span>Terzo taglio: 7 cubetti eliminati,
\n differenza: 10-7 = 3
\n <\/span>Quarto taglio: 4 cubetti eliminati,
\n differenza: 10-4=6<\/span><\/span><\/p>\n

quanto vale la differenza,
\n nei passi successivi ?
\n <\/span>La differenza \u00e8 pari, di nuovo,
\n alla somma dei primi n\u00a0 <\/span><\/i>numeri naturali !
\n <\/span>Si immagini ora di costruire
\n la figura 2 utilizzando un numero n<\/i>
\n qualsiasi di cubetti.<\/span> <\/p>\n

\u00b7\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>Al primo taglio si elimineranno
\n n(n+1)\/2<\/i> cubetti.<\/span><\/p>\n

\u00b7\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>Al secondo taglio si
\n elimineranno n(n+1)\/2<\/i> cubetti
\n meno la differenza: la somma del primo numero naturale, cio\u00e8 1<\/span><\/p>\n

\u00b7\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>Al terzo taglio si elimineranno
\n n(n+1)\/2<\/i> cubetti meno la differenza:
\n la somma dei primi 2 numeri naturali, cio\u00e8 3<\/span><\/p>\n

\u00b7\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>Al quarto taglio si elimineranno
\n n(n+1)\/2<\/i> cubetti meno la differenza:
\n la somma dei primi 3 numeri naturali, cio\u00e8 6<\/span><\/p>\n

\u00b7\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>All\u2019i-mo taglio si elimineranno
\n n(n+1)\/2<\/i> cubetti meno la differenza:
\n la somma dei primi i-1 <\/i>\u00a0<\/span>numeri naturali, cio\u00e8 i(i+1)\/2<\/i><\/span><\/span><\/p>\n

Possiamo contare il
\n numero di cubetti che compongono la figura 2 affettandola in n<\/i> passi.<\/span><\/p>\n

Pi\u00f9 formalmente:<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[3]<\/span><\/span><\/p>\n

e valutiamone i termini
\n singolarmente.<\/span> <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[4]<\/span><\/span><\/p>\n

perch\u00e9 sommatoria
\n in n-1<\/i> passi di termini indipendenti dalla
\n variabile iterativa i<\/i>.<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[5]<\/span>\n <\/p>\n

perch\u00e9 la sommatoria
\n gode della propriet\u00e0 distributiva <\/span>\"\"\/<\/sub><\/span>.<\/span><\/p>\n

Introduciamo inoltre
\n il seguente artifizio sugli indici della sommatoria:<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[6]<\/span><\/span><\/p>\n

che ci consente di
\n rendere confrontabile il termine sommatoria di i2<\/sup><\/i> della [5] con il primo membro della [3] (attenzione:
\n l\u2019estremo superiore della sommatoria \u00e8 stato portato da n-1 <\/i>ad n<\/i>).<\/span><\/p>\n

Per cui, la [5] diviene:<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[7]<\/span><\/span><\/p>\n

A questo punto si
\n sostituiscono le espressioni [4] e [7] nella [3] (occhio ai segni !):<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span><\/span><\/p>\n

facciamo il minimo
\n comune multiplo:<\/span> <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span><\/span><\/p>\n

la sommatoria al secondo
\n membro non deve preoccuparci: basta portarla al primo !<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/span><\/sub><\/span><\/span><\/p>\n

ancora un piccolo
\n minimo comune multiplo:<\/span> <\/p>\n

\"\"\/<\/span><\/sub><\/span><\/span><\/p>\n

Da qui, abbiamo quasi
\n vinto – matto in due mosse \u2013 si semplificano i termini:<\/span>\n <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span><\/p>\n

e si fattorizza,<\/span><\/p>\n

\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span><\/p>\n

<\/span>…
\n scacco matto !<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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