{"id":2182,"date":"2000-10-26T00:00:00","date_gmt":"2000-10-25T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2182","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2182\/","title":{"rendered":"Leggendo la Vostra risposta sulla cicloide mi e&#8217; venuta la curiosita&#8217; di &#8220;visualizzare&#8221; la linea descritta da un punto su una sfera che ruoti senza slittamento su due dei propri assi con velocita&#8217; differenti. Quale e&#8217; l&#8217;equazione dove le due velocita&#8217; di rotazione siano variabili (supponendo perpendicolari i due assi)?"},"content":{"rendered":"<p><font size=\"2\">L\u2019equazione cercata dal lettore si ottiene applicando<br \/>\n        una velocit\u00e0 angolare costante ai due parametri angolari del sistema<br \/>\n        di coordinate sferiche illustrato in Fig. 1.<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"177\" height=\"319\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image22.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 1: Il sistema di coordinate sferiche<\/font><\/p>\n<p align=\"center\">\u00a0<\/p>\n<p><font size=\"2\">Mentre nel sistema di coordinate cartesiane un punto <i>P<\/i><br \/>\n        \u00e8 identificato da una tripletta di valori <i>(x,y,z)<\/i>, nel sistema<br \/>\n        di coordinate sferiche un punto <i>P<\/i> \u00e8 determinato da tre parametri<br \/>\n        <i>(<\/i><\/font><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">r<\/font><font size=\"2\"> , <\/font><font size=\"2\" face=\"Symbol\">q<\/font><font size=\"2\"><br \/>\n        , <\/font><font size=\"2\" face=\"Symbol\">j<\/font><font size=\"2\"> )<\/font><\/i><font size=\"2\">ove:<\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\"> <\/font><\/p>\n<li><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">r<\/font><font size=\"2\"> <\/font><\/i><font size=\"2\">indica<br \/>\n          la distanza tra l\u2019origine degli assi cartesiani ed il punto <i>P <\/i><\/font><\/li>\n<li><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">q<\/font><font size=\"2\"> <\/font><\/i><font size=\"2\">\u00e8<br \/>\n          il parametro che descrive l\u2019angolo formato dall\u2019asse <i>x <\/i>e dalla<br \/>\n          proiezione sul piano <i>xOy<\/i> del segmento <i>OP <\/i><\/font><\/li>\n<li><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">j<\/font><font size=\"2\"> <\/font><\/i><font size=\"2\">\u00e8<br \/>\n          l\u2019angolo formato dal segmento <i>OP<\/i> e l\u2019asse <i>z<\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p><font size=\"2\">Il sistema che consente di convertire coordinate sferiche<br \/>\n        in cartesiane \u00e8 il seguente:<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"116\" height=\"73\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image23.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p><font size=\"2\">per ottenere il grafico del moto di un punto su una sfera<br \/>\n        che ruoti su due assi perpendicolari, possiamo quindi sfruttare gli angoli<br \/>\n        <\/font><font size=\"2\" face=\"Symbol\">q<\/font><font size=\"2\"> <i>, <\/i><\/font><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">j<\/font><font size=\"2\"><br \/>\n        <\/font><\/i><font size=\"2\">. Il primo rappresenta l\u2019angolo di rotazione dell\u2019asse<br \/>\n        <i>z<\/i>, ed il secondo rappresenta l\u2019angolo di rotazione dell\u2019asse perpendicolare<br \/>\n        contemporaneamente all\u2019asse <i>z<\/i> ed alla proiezione del segmento <i>PO<br \/>\n        <\/i>sul piano <i>xOy<\/i>.<\/font><\/p>\n<p> <font size=\"2\">La rotazione lungo gli assi scelti pu\u00f2 essere rappresentata<br \/>\n        assegnando delle funzioni con parametro temporale agli angoli <\/font><font size=\"2\" face=\"Symbol\">q<\/font><font size=\"2\"><br \/>\n        <i>, <\/i><\/font><i><font size=\"2\" face=\"Symbol\">j<\/font><font size=\"2\"> <\/font><\/i><font size=\"2\">che<br \/>\n        rappresentino le velocit\u00e0 angolari <i>w<sub>1<\/sub><\/i> ed <i>w<sub>2<\/sub><\/i><br \/>\n        dei due assi:<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"60\" height=\"73\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image24.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p><font size=\"2\">Ad esempio, assegnando velocit\u00e0 di rotazione nulla<br \/>\n        per il primo asse e pari ad 1 Hz per il secondo asse<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"46\" height=\"73\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image25.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p><font size=\"2\">si ottiene l\u2019equazione della circonferenza in Fig. 2 (nelle<br \/>\n        figure, senza perdit\u00e0 di generalit\u00e0, viene posto <\/font><font size=\"2\" face=\"Symbol\">r<\/font><font size=\"2\"><br \/>\n        <i>= 1<\/i>)<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"274\" height=\"300\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image26.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 2 : Grafico per <i>w<sub>1<\/sub> =<br \/>\n        0<\/i>, <i>w<sub>2<\/sub>=1<\/i><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">La Fig. 3 rappresenta il percorso compiuto dal punto <i>P<\/i><br \/>\n        con velocit\u00e0 dei due assi pari ad 1Hz<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"190\" height=\"300\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image27.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 3: Grafico per <i>w<sub>1<\/sub> =<br \/>\n        1<\/i> <i>w<sub>2<\/sub>=1<\/i><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Composizioni pi\u00f9 &#8220;fantasiose&#8221; si ottengono aumentando<br \/>\n        la velocit\u00e0 di rotazione dei due assi e differenziandole. La Fig.<br \/>\n        4 mostra il percorso del punto <i>P<\/i> con frequenze di rotazione di<br \/>\n        3Hz ed 1Hz, sui due assi, rispettivamente.<\/font><\/p>\n<p align=\"center\">\u00a0<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"260\" height=\"300\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/protante\/Image28.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 4: Grafico per <i>w<sub>1<\/sub> =<br \/>\n        3,<\/i> <i>w<sub>2<\/sub>=1<\/i><\/font><\/p>\n<p><b>Note<\/b><\/p>\n<p>I grafici di questa pagina sono stati ottenuti con Mathematica utilizzando<br \/>\n        le seguenti istruzioni:<\/p>\n<p>x[t_]:=R*Cos[theta[t]]*Sin[phi[t]]<br \/>\n        y[t_]:=R*Sin[theta[t]]*Sin[phi[t]] <br \/>\n        z[t_]:=R*Cos[phi[t]] eq[t_]:={Cos[theta[t]]*Sin[phi[t]],Sin[theta[t]]*Sin[phi[t]],Cos[phi[t]]}<br \/>\n        <br \/>\n        theta[t_]:=3t <br \/>\n        phi[t_]:=t <br \/>\n        R=1<br \/>\n        ParametricPlot3D[eq[t], {t, 0, 2*Pi}] <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-2182","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2182","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2182"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2182\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2182"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2182"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2182"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}