{"id":2181,"date":"2000-02-28T00:00:00","date_gmt":"2000-02-27T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2181","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2181\/","title":{"rendered":"Avventurandomi nella dimostrazione delle propriet\u00e0 dei limiti, non sono riuscita n\u00e9 a trovare n\u00e9 a dimostrare il teorema secondo il quale il limite del prodotto di due funzioni \u00e8 uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni. Mi potete aiutare (anche indicandomi un testo idoneo alla mia richiesta)?\r\nGrazie."},"content":{"rendered":"

Per
\n dimostrare che il prodotto dei limiti di due funzioni reali di variabile
\n reale \u00e8 pari al prodotto dei limiti delle singole funzioni occorre
\n fare un passo indietro e dimostrare il teorema analogo per le successioni.<\/font><\/p>\n

Siano due successioni reali:<\/font><\/p>\n

a1<\/sub>, a2<\/sub>,
\n .., an<\/sub><\/font><\/p>\n

e<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

b1<\/sub>, b2<\/sub>,
\n .., bn<\/sub><\/font><\/p>\n

e si indichino tali successioni con {an<\/sub>}
\n e {bn<\/sub>}, rispettivamente. Si supponga inoltre che le successioni
\n siano convergenti<\/i>, ovvero che tendano a due valori finiti a<\/i>
\n e b<\/i>, rispettivamente:<\/font><\/p>\n

\"\"\/\t,\t\"\"\/<\/font><\/p>\n

L\u2019ipotesi di convergenza delle successioni
\n implica la validit\u00e0 del seguente<\/font><\/p>\n

Teorema<\/font><\/i><\/b><\/p>\n

Ogni successione convergente \u00e8 limitata<\/i>\t\t\t[1]<\/font><\/p>\n

ovvero, se {an<\/sub>} \u00e8 una successione
\n convergente, per cui vale \"\"\/,
\n allora ogni suo elemento deve essere finito e cio\u00e8 esiste un numero
\n finito arbitrariamente grande A<\/i> per cui <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

ovvero A<\/i> \u00e8 il maggiorante di
\n tutti gli elementi della successione {an<\/sub>}; quando ci\u00f2
\n accade la successione \u00e8 detta limitata<\/i>.<\/font><\/p>\n

A questo punto possiamo dimostrare il seguente<\/font><\/p>\n

Teorema<\/font><\/i><\/b><\/p>\n

Siano {an<\/sub>} e {bn<\/sub>}
\n due successioni convergenti, allora <\/font><\/i><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Osservazione:<\/font><\/p>\n

l\u2019enunciato del teorema \u00e8 pi\u00f9
\n vasto, ed estende questa propriet\u00e0 anche alla somma, rapporto e
\n valore assoluto di successioni.<\/font><\/p>\n

Dimostrazione:<\/font><\/i><\/p>\n

Il teorema [1] assicura la limitatezza di entrambe
\n le successioni {an<\/sub>} e {bn<\/sub>}, in altri termini esistono
\n due numeri finiti A<\/i> e B<\/i> che maggiorano le due successioni,
\n rispettivamente. Possiamo quindi scegliere un terzo numero M<\/i> che
\n sia maggiore di A <\/i>e di B<\/i> e che maggiori, quindi, entrambe
\n le successioni.<\/font><\/p>\n

Per la definizione di limite, la convergenza
\n di una successione {an<\/sub>} implica che<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

per n<\/i> arbitrariamente grande ed e
\n piccolo a piacere; vogliamo quindi provare la convergenza del prodotto
\n delle successioni, ovvero dobbiamo arrivare a dimostrare che <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

ovvero il modulo della differenza tra il prodotto
\n delle successioni ed il prodotto dei loro limiti sia minore di un valore
\n e , piccolo a piacere. <\/font><\/p>\n

Aggiungiamo e sottraiamo il termine an<\/sub>b
\n <\/i>:<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

fattorizziamo ed applichiamo la disuguaglianza
\n triangolare del modulo (\"\"\/
\n <\/i>)<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

applichiamo la propriet\u00e0 di limitatezza
\n delle successioni<\/font><\/p>\n

\"\"\/\t[2]<\/font><\/p>\n

ma, essendo le successioni {an<\/sub>}
\n e {bn<\/sub>} convergenti, ovvero<\/font><\/p>\n

\"\"\/,\"\"\/<\/font><\/p>\n

applichiamo alla [2] ed otteniamo<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

da cui segue la tesi, perch\u00e9 il termine
\n 2Me <\/i> \u00e8 piccolo a piacere.<\/font><\/p>\n

\u00aa<\/font> <\/p>\n

Dimostrato il teorema per le successioni, il
\n passaggio ai limiti di funzione \u00e8 estremamente semplice:<\/font><\/p>\n

Teorema<\/font><\/i><\/b><\/p>\n

Siano \"\"\/funzioni
\n reali di variabile reale per cui si abbia:<\/font><\/i><\/p>\n

\"\"\/<\/i>,
\n \"\"\/<\/i>,<\/font><\/p>\n

allora<\/font><\/i><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/i><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Osservazione:<\/font><\/p>\n

l\u2019enunciato del teorema \u00e8 pi\u00f9
\n vasto, ed estende questa propriet\u00e0 anche alla somma, rapporto e
\n valore assoluto di funzioni.<\/font><\/p>\n

Dimostrazione:<\/font><\/i><\/p>\n

Si prenda una successione qualsiasi {an<\/sub>}
\n che converga ad x0<\/sub><\/i>, dalle ipotesi del teorema segue
\n che<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/i>,
\n \"\"\/<\/i><\/font><\/p>\n

ma, dal teorema precedente si deduce che<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/i><\/p>\n

e, dalla convergenza della successione {an<\/sub>}
\n ad x0<\/sub><\/i>, segue la tesi.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2181","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2181","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2181"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2181\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2181"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2181"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2181"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}