{"id":2175,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2175","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2175\/","title":{"rendered":"Qual \u00e8 la legge ricorsiva che definisce la curva di Peano? Come \u00e8 possibile dimostrare i concetti di continuit\u00e0 e suriettivit\u00e0 nella curva di Peano?"},"content":{"rendered":"

Peano, frattali e
\n mostruosit\u00e0 matematiche<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Giuseppe Peano (Cuneo,
\n 1858 \u2013 Torino, 1932) scopr\u00ec, nel 1890, una curva in
\n grado di riempire il piano “senza buchi”. La
\n curva di Peano ha scosso il mondo matematico tanto che
\n Hilbert defin\u00ec le curve costruite in modo analogo
\n “Curve Mostruose”. <\/font><\/p>\n

Lo sconcerto \u00e8
\n comprensibile, perch\u00e9 curve come quella di Peano
\n mappano, in modo ricorsivo, con uniforme continuit\u00e0
\n segmenti in aree del piano.<\/font><\/p>\n

Il procedimento
\n ricorsivo \u00e8 definito partendo da un elemento di base
\n come quello definito in figura 1<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Fig. 1
\n Elemento Base <\/font><\/p>\n

Nel passo successivo, la
\n figura viene costruita replicando per quattro volte
\n l\u2019elemento base riducendone le dimensioni a un
\n quarto delle originali, mantenendo inalterato
\n l\u2019orientamento delle due copie inferiori e ruotando
\n di 90 gradi a sinistra e a destra le due copie superiori.
\n Inoltre, effettuano le connessioni come da figura 2 (le
\n connessioni sono evidenziate in nero)<\/font><\/p>\n

\"\"\/\u00a0<\/font><\/p>\n

Fig. 2
\n Seconda Iterazione<\/font><\/p>\n

(Il lato del quadrato ha
\n dimensione costante pari ad 1, le figure hanno dimensioni
\n crescenti solo per chiarezza)<\/font><\/p>\n

La figura 3 illustra il
\n terzo passo dell\u2019iterazione, che consiste nel
\n replicare quattro volte la figura del passo precedente,
\n ridotta di un fattore 4, applicando le operazioni di
\n rotazione e di connessione definite.<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Fig. 3
\n Terza Iterazione<\/font><\/p>\n

Iterando
\n all\u2019infinito, si ottiene una “curva
\n limite” che copre interamente l\u2019area a
\n disposizione.<\/font><\/p>\n

Si osservi che ogni
\n iterazione suddivide il quadrato originario in quadrati
\n di dimensioni pi\u00f9 piccole, contenenti repliche in scala
\n della curva del passo base. Questa propriet\u00e0 \u00e8 tipica
\n delle curve “frattali”, di cui possiamo trovare
\n ottimi esempi in natura (i profili delle coste, la
\n struttura dei fiocchi di neve, la geometria del fogliame
\n \u2026).<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Definizione della curva di
\n Peano<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Definiamo ora
\n formalmente il processo di costruzione per induzione
\n strutturale della curva di Peano.<\/font><\/p>\n

Mostreremo come la curva
\n di Peano \u00e8 ottenibile come limite di una successione di
\n funzioni convergente.<\/font><\/p>\n

La curva di Peano \u00e8
\n definita ricorsivamente mediante trasformazioni
\n successive di una curva f<\/i>1<\/i><\/sub>
\n definita sul segmento [0,1]<\/i> con valori nel
\n quadrato unitario Q0=[0,1]x[0,1]<\/i>:<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

che descrive, ad
\n esempio, una curva come quella di figura 1.<\/font><\/p>\n

Supponiamo ora di
\n dividere il quadrato unitario in quattro quadrati di lato
\n \u00bc Q00, Q01, Q10, Q11<\/i>, come da figura 4.<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Fig. 4
\n Suddivisioni del quadrato unitario al secondo passo<\/font><\/p>\n

Si costruisce la curva f<\/i>2<\/i><\/sub>
\n <\/i>del passo successivo modificando <\/i>la curva
\n iniziale in modo che mappi [0,1\/4] <\/i>in Q00<\/i>, [1\/4,1\/2]<\/i>
\n in Q01<\/i>, [1\/2, \u00be]<\/i> in Q10<\/i> e in [3\/4,
\n 1]<\/i>in Q11<\/i>. Inoltre, occorre modificare la curva
\n tenendo conto delle rotazioni e dei segmenti addizionali
\n di connessione.<\/font><\/p>\n

In ogni caso, la
\n funzione f<\/i>2<\/i><\/sub> <\/i>sara definita
\n in modo tale che<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

La larghezza degli
\n intervalli quadrati in questo passo (n=2) \u00e8 paria \u00bc ;
\n per induzione strutturale la larghezza degli intervalli
\n quadrati (o “sottoquadrati”) al passo
\n successivo (n=3) sar\u00e0 1\/8 ed al passo n<\/i> sar\u00e0 2-n.<\/sup>.
\n <\/font><\/p>\n

In ogni passo si ripete
\n la divisione in quattro intervalli pi\u00f9 piccoli e si
\n applicano le trasformazioni descritte al paragrafo
\n precedente.<\/font><\/p>\n

Al passo n<\/i>,
\n quindi, si ottiene una funzione che mappa il segemento
\n unitario al quadrato unitario<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

la curva di Peano si
\n ottiene per induzione iterando all\u2019infinito il
\n procedimento esposto.<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Convergenza, continuit\u00e0 e
\n suriettivit\u00e0<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Mostriamo ora che la
\n successione f<\/i>n<\/i><\/sub> <\/i>converge
\n ad una funzione continua e suriettiva.<\/font><\/p>\n

La cosa pi\u00f9
\n interessante da notare, \u00e8 che, per il meccanismo di
\n sostituzione definito, la distanza massima i punti delle
\n curve f<\/i>n<\/i><\/sub> <\/i>ed f<\/i>n+1<\/i><\/sub>
\n sono sicuramente contenuti nello stesso sottoquadrato di
\n ordine n<\/i>, ovvero possono giacere ad una distanza
\n massima pari alla diagonale del sottoquadrato di ordine n
\n <\/i>(il cui lato misura 2-n<\/sup>). Ci\u00f2 significa
\n che,<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Ora, applichiamo la
\n disuguaglianza nota come disuguaglianza triangolare<\/i><\/font><\/p>\n

|x+y+z|<|x|+|y|+|z|<\/font><\/p>\n

qui nella formulazione
\n stretta perch\u00e9 gli elementi sono tutti positivi.<\/font><\/p>\n

Troviamo quindi una
\n minorazione per |f<\/i>n+m<\/i><\/sub>(t)-f<\/i>n<\/i><\/sub>(t)|<\/i>
\n introducendo l\u2019artificio di aggiungere e sotrarre le
\n funzioni di ordine intermedio tra n<\/i> ed n+m<\/i>,
\n ovvero:<\/font><\/p>\n

|f<\/i>n+m<\/i><\/sub>(t)-f<\/i>n<\/i><\/sub>(t)|
\n = <\/i>|f<\/i>n+m<\/i><\/sub>(t)- f<\/i>n+m-1<\/i><\/sub>(t)+
\n f<\/i>n+m-1<\/i><\/sub>(t) \u2026 -f<\/i>n+1<\/i><\/sub>(t)+
\n f<\/i>n+1<\/i><\/sub>(t) \u2013f<\/i>n<\/i><\/sub>(t)|<<\/i><\/font><\/p>\n

e applichiamo la
\n disuguaglianza triangolare<\/font><\/p>\n

<<\/font>|f<\/i>n+m<\/i><\/sub>(t)-
\n f<\/i>n+m-1<\/i><\/sub>(t)|+ \u2026 + |f<\/i>n+1<\/i><\/sub>(t)
\n \u2013f<\/i>n<\/i><\/sub>(t)|< 2<\/i>1\/2-(n+m-1)<\/i><\/sup>+
\n \u2026+ 2<\/i>1\/2-(n+1)<\/i><\/sup>+ 2<\/i>1\/2-n
\n <\/i><\/sup><<\/i><\/font><\/p>\n

fattorizzando <\/font>2<\/i>1\/2-n<\/i><\/sup> <\/i><\/font>otteniamo<\/font><\/p>\n

<\"\"\/<<\/font>2<\/i>1\/2-n<\/i><\/sup>2=2<\/i>3\/2-n<\/i><\/sup><\/font><\/p>\n

poich\u00e9 i termini della
\n sommatoria di m<\/i> elementi forniscono un
\n coefficiente moltiplicativo sicuramente non superiore a
\n 2.<\/font><\/p>\n

Ora una successione a<\/i>i<\/i><\/sub>,
\n <\/i>soddisfa il criterio di convergenza di Cauchy<\/i>
\n se le differenze <\/font><\/p>\n

|a<\/i>n+m<\/i><\/sub>-a<\/i>m<\/i><\/sub>|<\/i><\/font><\/p>\n

convergono a zero, al
\n crescere di n<\/i> ed indipendentemente da m<\/i>.<\/font><\/p>\n

Quini, la successione di
\n funzioni f<\/i>0<\/i><\/sub>\u2026f<\/i>n<\/i><\/sub>
\n <\/i>converge perch\u00e9 soddisfa il criterio di Cauchy.<\/font><\/p>\n

Inoltre, la convergenza
\n \u00e8 unforme perch\u00e9 vale per ogni t<\/i> in [0,1]<\/i>
\n e le singole funzioni f<\/i>i<\/sub> sono continue,
\n per costruzione.<\/font><\/p>\n

Le successioni dotate di
\n uniforme convergenza godono della importante propriet\u00e0<\/font><\/p>\n

una successione di
\n funzioni continue\/derivabili uniformemente convergente,
\n converge ad una funzione continua\/derivabile.<\/i><\/font><\/p>\n

Quindi, la funzione
\n limite della successione f<\/i>i<\/i><\/sub> <\/i>che
\n descrive la curva di Peano <\/font>f(t)<\/i><\/font>=\"\"\/ \u00e8 continua.<\/font><\/p>\n

Inoltre, la funzione f(t)
\n <\/i>\u00e8 suriettiva poich\u00e9 per ogni punto (x,y)<\/i>
\n nell\u2019intervallo quadrato [0,1]x[0,1]<\/i>, \u00e8
\n possibile determinare un valore del parametro t<\/i>0<\/i><\/sub>
\n tale che la successione di valori f<\/i>i<\/i><\/sub>(t<\/i>0<\/i><\/sub>)
\n <\/i>\u00e8 via via pi\u00f9 vicina alla coppia selezionata o,
\n pi\u00f9 formalmente,<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Questo risultato si
\n ottiene osservando che per ogni coppia (x,y) <\/i>la
\n curva di ordine n<\/i> passa sicuramente
\n all\u2019interno del sottoquadrato di ordine n <\/i>che
\n la contiene, ovvero la coppia dista dalla curva
\n sicuramente meno della diagonale del sottoquadrato,
\n ovvero:<\/font><\/p>\n

|(x,y)-f<\/i>n<\/i><\/sub>(t<\/i>0<\/i><\/sub>)|<2<\/i>1\/2-n<\/i><\/sup><\/font><\/p>\n

ma il limite per n<\/i>
\n tendente all\u2019infinito di questa espressione \u00e8,
\n appunto, zero. Ci\u00f2 garantisce che<\/font><\/p>\n

f([0,1])=[0,1]x[0,1]<\/i><\/font><\/p>\n

e la funzione f(t)<\/i>
\n \u00e8 suriettiva.<\/font><\/p>\n

____________________________________________________<\/font><\/div>\n

Links (in inglese)<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

Definizione e propriet\u00e0
\n della curva di Peano<\/font>
\n <\/u><\/font>http:\/\/www.cut-the-knot.com\/do_you_know\/hilbert.html<\/u><\/font><\/a><\/p>\n

Giuseppe Peano
\n <\/font>http:\/\/www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk\/~history\/Mathematicians\/Peano.html<\/u><\/font><\/a><\/p>\n

Esempio di curva di
\n Peano
\n <\/font>http:\/\/www-math.uni-paderborn.de\/~fazekas\/course\/peano.html<\/u><\/font><\/a><\/p>\n

“Mostruosit\u00e0”
\n matematiche
\n <\/font>http:\/\/nova.stu.rpi.edu\/~slattd\/domain\/monstrosities.htm<\/u><\/font><\/a><\/p>\n

Tutorial sulla geometria
\n frattale
\n <\/font>http:\/\/www.ccinet.com\/~rob\/fractal\/what.html<\/u><\/font><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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