{"id":2172,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2172","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2172\/","title":{"rendered":"Premetto che non sono un matematico ma semplicemente un amatore, spero quindi che molte stupidaggini mi saranno perdonate. In particolare mi interessano le curve e la loro origine. Alla equazione parametrica della cicloide ci ero arrivato da tempo ma con un metodo piuttosto farraginoso, la risposta del prof. Consoli in Eureka mi ha dato una dritta per risolvere il problema in modo migliore. Per l’ipo e l’epicicloide applicando la stessa supposizione iniziale fatta dal Prof.Consoli per la cicloide, si arriva alle parametriche ma indubbiamente forzando la mano e affidandosi molto alla intuizione. Pu\u00f2 il prof Consoli dare un suggerimento generale di partenza per la derivazione matematica delle curve e ancora pi\u00f9 in generale le premesse per derivare le equazioni di un punto di figure geometriche che rotolano dentro o fuori altre figure geometriche, es. un quadrato dentro o fuori un cerchio , oppure se la cosa \u00e8 molto lunga, partire almeno del rotolamento di figure geometriche su una linea poi si vedr\u00e0. La rotazione traslazione degli assi cartesiani pu\u00f2 essere una strada ? Chiedo scusa per il disturbo; ma dalle equazioni gi\u00e0 fatte da tracciare con Mathematica non traggo grande soddisfazione.\r\nP.S. In Mathematica di Stan Wagon il problema \u00e8 presentato come ovvio ma a dire il vero l’ovviet\u00e0 non l’ho vista."},"content":{"rendered":"

Vedi
\n anche un’altra domanda\/risposta sull’argomento<\/a><\/font><\/p>\n

La domanda posta dal lettore \u00e8
\n di grande interesse e spazia nel campo della tecnica di parametrizzazione
\n delle figure nello spazio euclideo. Una trattazione ampia prevederebbe
\n un numero di esempi sicuramente non adatto a questa rubrica. In ogni caso,
\n \u00e8 possibile definire sinteticamente quali sono le tecniche elementari
\n che si applicano nel processo di parametrizzazione, dimostrandone graficamente
\n gli effetti. <\/font><\/p>\n

Come noto, una curva \u00e8 identificata
\n da un sottoinsieme di punti nello spazio bi\/tridimensionale, ovvero un
\n insieme di vettori coppie (x,y) <\/i> o terne (x,y,z)<\/i> rispettivamente
\n nel piano e nello spazio. <\/font><\/p>\n

Il processo di parametrizzazione
\n consiste nel definire l\u2019equazione di questi vettori.<\/font><\/p>\n

La parametrizzazione delle curve
\n nel piano e nello spazio si ottiene applicando trasformazioni successive
\n elementari, in modo incrementale.<\/font><\/p>\n

Si consideri l\u2019equazione parametrica
\n della circonferenza di raggio unitario e centro (0,0)<\/i> :<\/font><\/p>\n

\"\"
\n Fig 1: Circonferenza di raggio unitario e centro (0,0)<\/i><\/font><\/p>\n

L\u2019equazione della circonferenza
\n in Fig. 1 \u00e8 f(t) = (cos(t), sin(t))<\/i>, e t<\/i> \u00e8
\n il parametro<\/i>.<\/font><\/p>\n

Il grafico in Mathematica <\/i>si
\n ottiene con:<\/font><\/p>\n

circ[t_] := { Cos[t], Sin[t]};<\/font><\/i><\/p>\n

ParametricPlot[circ[t], {t, 0,
\n 2*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

Un primo gruppo di trasformazioni
\n applicabile sono le trasformazioni sul sistema cartesiano di riferimento<\/i>.<\/font><\/p>\n

Sia un\u2019equazione f(t)<\/i> = (x(t),
\n y(t))<\/i> , tali operazioni possono essere:<\/font><\/p>\n

    \n
  1. Fattore di scala<\/i>: f\u2019(t)
    \n = f(t) *(a,b)T<\/sup>= (a x(t), b y(t))<\/i>, con a, b <\/i>fattori
    \n moltiplicativi costanti.<\/font><\/li>\n
  2. Traslazione: f\u2019(t) = f(t)
    \n \u2013 (a, b)<\/i> = (x(t) \u2013 a, y(t) \u2013 b)<\/i>, con a,b <\/i> costanti
    \n additive.<\/font><\/li>\n
  3. Rotazione: f\u2019(t) = r(w) *
    \n f(t)T<\/sup>=r(w) * (x(t) , y(t))T<\/sup> = (x(t) cos(w) \u2013 y(t)
    \n sin(w), y(t) cos(w) + x(t) sin(w))<\/i>, <\/font><\/li>\n<\/ol>\n

    <\/p>\n

    ove w <\/i>\u00e8 l\u2019angolo
    \n di rotazione e r(w) <\/i>\u00e8 la matrice di rotazione<\/font><\/p>\n

    \"\"<\/font><\/p>\n

    <\/dir><\/p>\n

    Si osservi che si indica con [*]
    \n il prodotto matriciale<\/i>, il Mathematica <\/i>supporta il prodotto
    \n matriciale con l\u2019operatore [.]. L\u2019apice \u2018T\u2019 indica trasposizione<\/i>,
    \n ovvero l\u2019operazione di scambio righe\/colonne di una matrice, il Mathematica
    \n <\/i> supporta la trasposizione mediante la funzione Transpose[]<\/i>.
    \n Queste operazioni non possono essere definite qui nel dettaglio, si veda
    \n in proposito un qualsiasi testo di Algebra Lineare. <\/font><\/p>\n

    Applichiamo ora la trasformazione
    \n 1 per applicare un fattore di scala 2<\/i> alle ascisse e 3<\/i> alle
    \n ordinate:<\/font><\/p>\n

    f\u2019(t) = (2 cos(t), 3 sin(t))<\/font><\/i><\/p>\n

    In Mathematica<\/i>:<\/font><\/p>\n

    ell1[t_] := { 2 Cos[t], 3 Sin[t]};<\/font><\/i><\/p>\n

    ParametricPlot[ell1[t], {t, 0,
    \n 2*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Fig 2: Ellisse di
    \n centro (0,0) ed assi 4 e 6<\/font><\/p>\n

    Quale luogo geometrico abbiamo ottenuto
    \n ?<\/font><\/p>\n

    Allungando di un fattore 2 e 3 rispettivamente
    \n le ascisse e le ordinate, abbiamo ottenuto l\u2019equazione parametrica un
    \n ellisse con asse maggiore 4 ed asse minore 6.<\/font><\/p>\n

    Applichiamo la seconda e la terza
    \n trasformazione all\u2019ellisse di Figura 2 e spostiamone l\u2019origine in (2,3)<\/i>,
    \n ruotandola di 45\u00b0 (vale a dire di p \/4). Applichiamo prima una rotazione:<\/font><\/p>\n

    f\u2019(t) = r(w)*(x(t),
    \n y(t))T<\/sup> = (x(t) cos(w) \u2013 y(t) sin(w), y(t) cos(w) + x(t) sin(w))
    \n =<\/font><\/i><\/p>\n

    =(2 cos(t) cos(w)
    \n – 3 sin(t) sin(w), 3 cos(w) sin(t) + 2 cos(t) sin(w))<\/font><\/i><\/p>\n

    e poi la traslazione, aggiungendo
    \n (2,3)<\/i>:<\/font><\/p>\n

    (2,3) +<\/i> r(w)*(x(t),
    \n y(t))T<\/sup> =<\/i><\/font><\/p>\n

    =(2+2 cos(t) cos(w)
    \n – 3 sin(t) sin(w), 3+3 cos(w) sin(t) + 2 cos(t) sin(w))<\/font><\/i><\/p>\n

    ove w = p \/4.<\/font><\/p>\n

    La serie di trasformazioni si definisce
    \n in Mathematica<\/i> in modo molto semplice:<\/font><\/p>\n

    x[t_] := (2*Cos[t]);<\/font><\/i><\/p>\n

    y[t_] := (3*Sin[t]);<\/font><\/i><\/p>\n

    r[w_] := {{Cos[w], -Sin[w]},
    \n {Sin[w], Cos[w]}};<\/font><\/i><\/p>\n

    ell2[t_] := { {2,3}+r[Pi\/4].
    \n Transpose[{x[t], y[t]}] } <\/font><\/i><\/p>\n

    \"\"<\/font><\/p>\n

    Fig. 3: Ellisse di
    \n Fig. 2 ruotata di 45\u00b0 e traslata in (2,3)<\/font><\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    Queste operazioni elementari, consentono
    \n di trasformare le curve nel piano e nello spazio a piacimento.<\/font><\/p>\n

    Applichiamo ad esempio l\u2019ingrandimento
    \n in scala per ottenere l\u2019equazione parametrica di una spirale:<\/font><\/p>\n

    spir[t_] := t*{ Cos[t], Sin[t]};<\/font><\/i><\/p>\n

    ParametricPlot[spir[t], {t, 0,
    \n 24*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Fig 4: Spirale piana<\/font><\/p>\n

    La spirale piana di Fig. 4 si ottiene
    \n applicando un fattore di scala variabile e proporzionale all\u2019angolo di
    \n rotazione.<\/font><\/p>\n

    Cosa succederebbe se invece traslassimo
    \n la circonferenza nello spazio, verso l\u2019alto, mentre questa viene generata
    \n ? La risposta \u00e8 in Fig. 5.<\/font><\/p>\n

    spir3D[t_] := { Cos[t], Sin[t],
    \n t\/7};<\/font><\/i><\/p>\n

    ParametricPlot3D[spir3D[t],
    \n {t, 0, 6*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

    \"\"<\/font><\/i>
    \n Fig
    \n 5: Spirale cilindirica<\/font><\/p>\n

    La spirale cilindrica di figura
    \n 5 \u00e8 ottenuta traslando la circonferenza verso l\u2019alto con velocit\u00e0
    \n t\/7<\/i>.<\/font><\/p>\n

    Quali operazioni elementari sono
    \n state applicate per ottenere le parametrizzazioni di figura 4 e 5 ?<\/font><\/p>\n

    A proposito dell\u2019epicicloide (la
    \n curva descritta dai pianeti esterni del sistema solare vista dalla terra);
    \n sia l\u2019equazione (supponiamo circolare) dell\u2019orbita di due pianeti (cos(8t),
    \n sin(8t))<\/i> e (2 cos(t), 2 sin(t))<\/i><\/font><\/p>\n

    p1[t_] := {Cos[8 t], Sin[8 t]};<\/font><\/i><\/p>\n

    p2[t_] := {2 Cos[t], 2 Sin[t]};<\/font><\/i><\/p>\n

    ParametricPlot[p2[t]-p1[t], {t,
    \n 0, 4 Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

    \"\"<\/font><\/p>\n

    Fig 6: Epicicloide<\/font><\/p>\n

    Il pianeta interno compie 8 orbite
    \n e quello esterno solo una, il diametro di orbita del pianeta esterno \u00e8
    \n il doppio di quello interno. L\u2019orbita del pianeta esterno “vista”
    \n da quello interno si ottiene semplicemente impostando l\u2019origine del sistema
    \n cartesiano di riferimento al luogo dei punti dell\u2019orbita interna. In poche
    \n parole: sottraendo l\u2019equazione dell\u2019orbita interna a quella esterna. Il
    \n risultato \u00e8 in fig. 6.<\/font><\/p>\n

    Possiamo spingerci ancora oltre
    \n nel processo di parametrizzazione e costruire delle superfici a partire
    \n da curve nel piano. Ci\u00f2 che distingue una curva da una superficie
    \n \u00e8 il numero di parametri: 1 per le curve e 2 per le superfici.<\/font><\/p>\n

    In particolare, esiste un procedimento
    \n standard per costruire una superficie di rotazione<\/i>, a partire da
    \n una curva nel piano, che consiste nell\u2019aggiungere un parametro apposito,
    \n applicando la rotazione della curva nello spazio.<\/font><\/p>\n

    Si consideri lo spazio tridimensionale
    \n e si supponga di avere una curva nel piano XOZ, ad esempio la parabola
    \n (x, y, z) <\/i>= (t, 0, t2<\/sup>) <\/i>:<\/font><\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    ParametricPlot3D[{t , 0 , t^2},
    \n {t, -1, 1}]<\/font><\/i><\/p>\n

    \"\"
    \n Fig 7: Parabola nel piano XOZ<\/font><\/p>\n

    Applichiamo ora la trasformazione
    \n di coordinate seguente; sia f(t) = (x(t), 0, z(t))<\/i> la curva nel
    \n piano XOZ da ruotare:<\/font><\/p>\n

      \n
    • Rotazione sull\u2019asse Z: f\u2019(t)
      \n = (x(t) cos(u), x(t) sin(u), z(t))<\/font><\/i><\/li>\n<\/ul>\n

      ove si aggiunge un parametro addizionale
      \n u<\/i> di rotazione.<\/font><\/p>\n

      Applichiamo alla parabola di fig.
      \n 7:<\/font><\/p>\n

      f\u2019(t) = (t cos(u),
      \n t sin(u), t2<\/sup>)<\/font><\/i><\/p>\n

      ParametricPlot3D[{t Cos[u], t
      \n Sin[u], t^2}, {t, 0,1}, {u, 0, 2*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

      \u00a0<\/p>\n

      \"\"
      \n Fig
      \n 8: Paraboloide<\/font><\/p>\n

      Il risultato \u00e8 illustrato
      \n in Fig. 8.<\/font><\/p>\n


      \n Prendiamo ora la circonferenza nel piano XOZ (3+cos(t), 0, sin(t))<\/i>
      \n di raggio 1 e centrata in (3,0,0)<\/i>:<\/font><\/p>\n

      \"\"<\/font><\/p>\n

      Fig. 9: Circonferenza
      \n nel piano XOZ di raggio 1 e centro (3,0,0)<\/i><\/font><\/p>\n

      Applichiamo la rotazione:<\/font><\/p>\n

      f\u2019(t) = ((3+cos(t)) cos(u), (3+cos(t))
      \n sin(u), sin(t))<\/font><\/i><\/p>\n

      ParametricPlot3D[{(3+Cos[t])
      \n Cos[u], (3+Cos[t]) Sin[u], Sin[t]}, {t, 0,2 Pi}, {u, 0, 2*Pi}]<\/font><\/i><\/p>\n

      Il risultato \u00e8 il toro<\/i>
      \n di fig 10.<\/font><\/p>\n

      \"\"<\/font><\/p>\n

      \u00a0<\/p>\n

      Fig 10: Toro<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      […]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-2172","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2172","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2172"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2172\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2172"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2172"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2172"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}