{"id":2170,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2170","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2170\/","title":{"rendered":"Se le lancette di un orologio si sovrappongono ogni 65 minuti, cosa si pu\u00f2 dire dell’orologio (va avanti, resta indietro o \u00e8 esatto)?"},"content":{"rendered":"

Malgrado abbia l’aspetto
\n di un indovinello, questa domanda non \u00e8 priva di
\n interesse.<\/font><\/p>\n

Per chiarezza,
\n preferisco rispondere alla seguente domanda
\n “preliminare”: “in un orologio a
\n lancette <\/b>ideale<\/u><\/b>, ogni quanto tempo
\n la lancetta delle ore e quella dei minuti si
\n sovrappongono esattamente?<\/b>“.<\/font><\/p>\n

Per rispondere vi sono
\n due approcci, uno analitico ed uno sintetico.<\/font><\/p>\n

Per iniziare con
\n l’approccio analitico, consideriamo un orologio ideale<\/i>,
\n che in questo contesto definiamo come un orologio con
\n lancette delle ore e dei minuti infinitamente sottili
\n (della lancetta dei secondi ci disinteressiamo
\n completamente) che si muovono di moto circolare uniforme
\n (cio\u00e8 con moto continuo, e non a scatti come di solito
\n invece avviene). L’orologio ideale ha una meccanica
\n perfetta, cosicch\u00e9 tra le velocit\u00e0 angolari delle due
\n lancette vi \u00e8 esattamente un rapporto 1 a 12. Per
\n comodit\u00e0, misureremo gli angoli in gradi sessagesimali e
\n il tempo in minuti.<\/font><\/p>\n

Se indichiamo con vm<\/sub>
\n la velocit\u00e0 angolare della lancetta dei minuti e con vh<\/sub>
\n quella della lancetta delle ore, le leggi di moto
\n angolare delle due lancette sono ovviamente date da:<\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/p>\n

In queste relazioni, am<\/sub>
\n ed ah<\/sub> sono gli angoli formati dalle due
\n lancette con una direzione di riferimento prefissata,
\n mentre am0<\/sub> e ah0<\/sub> sono i valori di
\n tali angoli al momento iniziale della nostra osservazione
\n (quando t=0).<\/font><\/p>\n

Per semplificarci la
\n vita, ma senza perdere alcunch\u00e9 in generalit\u00e0, possiamo
\n supporre che l’istante iniziale corrisponda esattamente a
\n mezzogiorno (o mezzanotte), quando le due lancette sono
\n perfettamente sovrapposte, e convenire di misurare gli
\n angoli proprio a partire dalla direzione delle ore
\n dodici; in questo modo evidentemente le due relazioni
\n divengono:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n\n\n\n
\"\"\/<\/font><\/td>\n(*)<\/b><\/font><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

<\/center><\/div>\n

In
\n particolare, se l’orologio \u00e8 esatto, le due velocit\u00e0
\n angolari valgono rispettivamente vm<\/sub>=6\u00b0\/min
\n per la lancetta dei minuti e vh<\/sub>=0,5\u00b0\/min per
\n quella delle ore e quindi:<\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/p>\n

Le leggi del moto ci
\n consentono non solo di risolvere il problema ma anche di
\n dominare completamente la situazione. Possiamo per
\n esempio chiederci dopo quanto tempo dall’inizio
\n dell’osservazione le due lancette si trovano per la prima
\n volta in posizione ortogonale oppure contrapposte una
\n all’altra; le risposte si trovano semplicemente
\n risolvendo le equazioni:<\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/p>\n

da cui, rispettivamente,
\n t=16 minuti e 22 secondi circa e t=32 minuti e 44 secondi
\n circa.<\/font><\/p>\n

Per venire al nostro
\n problema, la risposta alla mia domanda
\n “preliminare” viene dall’equazione:<\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/p>\n

da cui t=65 minuti e
\n 27 secondi<\/b> circa.<\/font><\/p>\n

L’approccio sintetico mi
\n \u00e8 stato suggerito dalla grande vittoria della Ferrari di
\n Schumacher al Gran Premio di San Marino di ieri (2 maggio
\n 1999). Supponiamo che le due lancette siano in gara tra
\n di loro e ragioniamo come segue: nelle 12 ore che vanno
\n da mezzogiorno a mezzanotte la lancella dei minuti compie
\n esattamente 12 giri e quella delle ore esattamente 1
\n giro; quindi la prima doppia la seconda esattamente 11
\n volte nel corso della “gara”; poich\u00e9 la gara
\n dura 12 ore ed il moto \u00e8 uniforme, tra un doppiaggio ed
\n il successivo trascorre un intervallo di tempo dato da 12
\n ore divise in 11 parti, ovvero 1 ora 5 minuti e 27
\n secondi circa, come precedentemente trovato.<\/font><\/p>\n

Veniamo infine
\n all’orologio della domanda iniziale: evidentemente, se
\n l’intervallo tra due doppiaggi \u00e8 di 65 minuti (cio\u00e8 un
\n po’ minore di quello di un orologio esatto) allora
\n l’orologio va un po’ pi\u00f9 veloce del dovuto e quindi va
\n avanti. <\/font><\/p>\n

Per un calcolo
\n dettagliato, possiamo partire dalle leggi del moto (*)<\/b>
\n nelle quali supponiamo di conoscere l’intervallo di tempo
\n tra due sovrapposizioni (65 minuti) ma non la velocit\u00e0
\n angolare delle due lancette, fermo restando il loro
\n rapporto 1:12 (determinato dagli ingranaggi
\n dell’orologio). Possiamo scrivere:<\/font><\/p>\n

\"\"\/ <\/font><\/p>\n

da cui ricaviamo v<\/b>m<\/b><\/sub>=6,042\u00b0\/min<\/b>
\n (contro i 6\u00b0\/min dell’orologio esatto). Nell’arco di
\n un’ora, la lancetta dei minuti dell’orologio della
\n domanda copre quindi un angolo di 362,52\u00b0; un orologio
\n esatto impiega 1 ora e 25 secondi per coprire lo stesso
\n angolo, quindi il primo orologio va avanti di 25 secondi
\n ogni ora, ovvero 10 minuti al giorno.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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