{"id":2166,"date":"2000-11-23T00:00:00","date_gmt":"2000-11-22T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2166","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2166\/","title":{"rendered":"Vorrei conoscere un metodo per calcolare li logaritmo di un numero, in una qualsiasi base, usando le quattro operazioni"},"content":{"rendered":"<p>        Dati due numeri reali <u>positivi <\/u><i> a <\/i>, <i>b<\/i> e <i>a <\/i><br \/>\n        <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"16\" height=\"16\" border=\"0\" align=\"texttop\" name=\"Immagine1\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehi.gif\" alt=\"\"\/><i>1<\/i>,<br \/>\n        con il termine \u201c<u>logaritmo in base <i>a<\/i> di <i>b<\/i><\/u>\u201d,<br \/>\n        generalmente denotato con il simbolo <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"49\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine2\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehj.gif\" alt=\"\"\/>,<br \/>\n        si indica quel numero <i>l<\/i> a cui si deve elevare la base <i>a<\/i><br \/>\n        per ottenere la base <i>b<\/i>, in altri termini deve risultare<i> <\/i><br \/>\n        <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"20\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine3\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehk.gif\" alt=\"\"\/><i>.<\/i><\/p>\n<p>Cos\u00ec ad esempio abbiamo che<\/p>\n<p> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"280\" height=\"48\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine4\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehl.gif\" alt=\"\"\/><i><font size=\"4\">,<br \/>\n        <\/font><\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"85\" height=\"28\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine5\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehm.gif\" alt=\"\"\/><i><font size=\"4\">,<br \/>\n        <\/font><\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"103\" height=\"29\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine6\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehn.gif\" alt=\"\"\/><i><font size=\"4\"><br \/>\n        . <\/font><\/i> <\/p>\n<p>Osserviamo che, in generale, <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"49\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine7\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehheho.gif\" alt=\"\"\/>\u00e8<br \/>\n        un numero decimale del tipo <i>c,m<\/i> dove <i>c<\/i> \u00e8 la parte<br \/>\n        intera detta <i>caratteristica<\/i> ed <i>m<\/i> \u00e8 la parte decimale<br \/>\n        detta <i>mantissa. <\/i><b>Il problema del calcolo del logaritmo consiste<br \/>\n        nel calcolo della sua caratteristica e della sua mantissa.<\/b><\/p>\n<p>Come si evince dagli esempi precedenti, il logaritmo di un numero <i>b<\/i><br \/>\n        in una data base <i>a, <\/i>pu\u00f2 essere un numero positivo o negativo,<br \/>\n        un intero (nel qual caso la mantissa vale 0) o razionale (nel qual caso<br \/>\n        la mantissa o \u00e8 formata da un numero finito di cifre, oppure esse<br \/>\n        si ripetono in modo periodico).<\/p>\n<p>Ma nella grande maggioraza dei casi, come ad esempio <i>log25<\/i> (quando<br \/>\n        la base \u00e8 10 solitamente viene omessa) i logaritmi sono numeri<br \/>\n        irrazionali, cio\u00e8 la mantissa \u00e8 formata da un numero illimitato<br \/>\n        di cifre, che non hanno un andamento periodico. In tutti questi casi \u00e8<br \/>\n        impossibile conoscere tutte le cifre decimali che compongono il logaritmo.\n      <\/p>\n<p>Pertanto, in generale, il calcolo di un logaritmo non pu\u00f2 che<br \/>\n        essere approssimato, e <u>quindi non pu\u00f2 esistere nessun procedimento<br \/>\n        che, facendo uso delle quattro operazioni elementari<\/u>, dia esattamente<br \/>\n        come risultato il logaritmo che si vuole calcolare.<\/p>\n<p>Vediamo adesso come si pu\u00f2 calcolare in modo approssimato un logaritmo;<br \/>\n        a tal fine ci serviremo della formula del passaggio di base:<\/p>\n<p>\n      <\/p>\n<p><font size=\"4\"> <\/font> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"124\" height=\"46\" border=\"0\" align=\"bottom\" name=\"Immagine8\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhehp.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p>dove <i>a<\/i> indica nuova base, <i>c<\/i> la vecchia e <i>b<\/i> il numero<br \/>\n        del quale si vuole calcolare il logaritmo. Utilizziiamo questa formula<br \/>\n        per trasformare un logaritmo in base qualsiasi in logaritmi decimali,<br \/>\n        ottenendo cos\u00ec: <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"105\" height=\"51\" border=\"0\" align=\"bottom\" name=\"Immagine9\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei0.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p>che, come possiamo notare, \u00e8 stato ottenuto mediante un&#8217;operazione<br \/>\n        elementare, ossia la divisione dei due numeri <i>log b<\/i> e <i>log a<br \/>\n        <\/i>. Tutto sta adesso a calcolare caratteristica e mantissa dei logaritmi<br \/>\n        decimali.<\/p>\n<p>Per quanto riguarda la caratteristica, si pu\u00f2 osservare che:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>se <i>x &gt;<\/i>1 e se a sua parte intera \u00e8 composta da <i>n<\/i><br \/>\n            cifre allora risulta <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"112\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine10\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei1.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\n            da cui, tenendo presente che i logaritmi con base maggiore di 1 &#8220;conservano<br \/>\n            le disuguaglianze&#8221;, otteniamo <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"222\" height=\"28\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine11\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei2.gif\" alt=\"\"\/>cio\u00e9<br \/>\n            <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"119\" height=\"24\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine12\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei3.gif\" alt=\"\"\/>.<br \/>\n            Ossia il logaritmo \u00e8 compreso tra <i>n-1 <\/i>ed <i>n<\/i>, e<br \/>\n            quindi lo sar\u00e0 anche la sua caratteristica. <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>se <i>0&lt;x&lt;1<\/i> e se il numero di zeri che precedono la prima<br \/>\n            cifra significativa \u00e8 n (contando anche lo zero prima della<br \/>\n            virgola) allora <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"136\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine13\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei4.gif\" alt=\"\"\/>,<br \/>\n            da cui <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"213\" height=\"29\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine14\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei5.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\n            cio\u00e8 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"156\" height=\"24\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine15\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei6.gif\" alt=\"\"\/>.<br \/>\n            Quindi in questo caso la caratteristica \u00e8 un numero intero<br \/>\n            negativo il cui valore assoluto \u00e8 uguale al numero degli zeri<br \/>\n            che precedono la prima cifra significativa.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\n      <\/p>\n<p>Resta adesso da trovare la mantissa. Essa normalmente viene letta su<br \/>\n        apposite tabelle, dette <i>tavole logaritmiche<\/i> . Un modo elementare<br \/>\n        per calcolare queste tavole si basa sulla seguente osservazione: <\/p>\n<p align=\"center\"><i>la mantissa non dipende dal posto occupato dalla virgola<br \/>\n        nel numero considerato<\/i>\n      <\/p>\n<p>ad esempio i numeri 35; 3,5; 0,35; 35000 hanno tutti la medesima mantissa<br \/>\n        e quindi in pratica il logaritmo di 0,35 viene a coincidere con le mantisse<br \/>\n        dei logaritmi di 3,5; di 35000 etc, etc <\/p>\n<p>In base a questo fatto, si pu\u00f2 pensare di tabellare i logaritmi<br \/>\n        di un&#8217;elevata quantit\u00e0 di numeri compresi tra 0 e 1, per poi usarli<br \/>\n        come mantissa per altri logaritmi. Per fare ci\u00f2 consideriamo due<br \/>\n        progressioni, di cui la prima \u00e8 geometrica di ragione <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"36\" height=\"25\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine16\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei7.gif\" alt=\"\"\/>,<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"232\" height=\"28\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine17\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei8.gif\" alt=\"\"\/>\n      <\/p>\n<p>e la seconda \u00e8 aritmetica di ragione &#8211;<i>r<\/i><\/p>\n<p>&#8230;..-nr,&#8230;&#8230;.-2r, -r , 0, <\/p>\n<p>e da come si pu\u00f2 notare, i suoi termini sono i logaritmi decimali<br \/>\n        della successione geometrica. Scegliendo <i>r<\/i> molto piccolo, due termini<br \/>\n        successivi della prima progressione differiscono di pochissimo tra loro,<br \/>\n        e si pu\u00f2 trovare cos\u00ec il logaritmo di un qualsiasi numero<br \/>\n        con uno scarto molto piccolo. Se scegliamo<i> r=0,01 <\/i>facendo variare<br \/>\n        n da 500 a 0 si ottiene la seguente tabella:\n      <\/p>\n<p align=\"center\">.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"287\" height=\"257\" border=\"0\" align=\"bottom\" name=\"Immagine18\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehhei9.gif\" alt=\"\"\/>\n      <\/p>\n<p>Dalla tabella leggiamo che log 0,31622 =-0,5, log 0,50118=-0,3 etc etc.<br \/>\n        Chiaramente la tabella qui sopra non \u00e8 completa, se fosse stata<br \/>\n        completa avremmo trovato nella 2\u00b0 colonna una successione di numeri<br \/>\n        molto vicini tra loro e nella 3\u00b0 colonna i rispettivi logaritmi; se<br \/>\n        scegliamo n pi\u00f9 grande otteniamo i logaritmi di numeri pi\u00f9<br \/>\n        prossimi a zero, scegliendo <i>r<\/i> pi\u00f9 piccolo otteniamo i logaritmi<br \/>\n        di un numero maggiore di valori.\n      <\/p>\n<p>\n      <\/p>\n<p>Esistono inoltre dei metodi numerici che permettono di calcolare i logaritmi,<br \/>\n        ad esempio si pu\u00f2 ricorrere allo sviluppo in serie di potenze,<br \/>\n        che per\u00f2 richiede una trattazione non adatta in questa sede. A<br \/>\n        titolo di esempio, scriviamo lo sviluppo in serie di potenze per i logaritmi<br \/>\n        neperiani, caratterizzati dal fatto di avere come base il numero di Nepero<br \/>\n        <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"100\" height=\"23\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine19\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehheia.gif\" alt=\"\"\/>\n      <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"476\" height=\"51\" border=\"0\" align=\"bottom\" name=\"Immagine20\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehheib.gif\" alt=\"\"\/>\n      <\/p>\n<p>\n      <\/p>\n<p>dove <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"119\" height=\"19\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine21\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehheic.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\n        . Scegliendo x=1 si ha:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"408\" height=\"48\" border=\"0\" align=\"absmiddle\" name=\"Immagine22\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/log\/svehheid.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\n        Questa \u00e8 una somma di infiniti termini (detta serie numerica) e<br \/>\n        pertanto, per ragioni di ordine pratico, siamo costretti a troncare la<br \/>\n        sommatoria da un certo punto in poi; pi\u00f9 \u00e8 numeroso il numero<br \/>\n        dei termini che sommiamo, tanto pi\u00f9 ci avviciniamo al vero valore<br \/>\n        del logaritmo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":272,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[67],"tags":[],"class_list":["post-2166","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-numerica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2166","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/272"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2166"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2166\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2166"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2166"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2166"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}