{"id":2163,"date":"2000-11-04T00:00:00","date_gmt":"2000-11-03T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2163","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2163\/","title":{"rendered":"Che uso hanno i numeri immaginari?"},"content":{"rendered":"

I numeri immaginari,
\n che si rappresentano nella forma a<\/i>i\u00a0 <\/span><\/b>dove <\/b>a<\/i> \u00e8 un numero reale (positivo o negativo)
\n e i<\/b> l’unit\u00e0 immaginaria, sono
\n utilizzati in algebra<\/u> <\/b>\u00a0<\/span>in tutti i calcoli in cui compaiono estrazioni
\n di radici, di indice pari, di numeri reali negativi.<\/font><\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Es.\u00a0 <\/span>\"\"\/<\/sub>\u00a0<\/span>3i<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span>\"\"\/<\/sub>=<\/span><\/b> 4i<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span>\"\"\/<\/sub>\u00a0<\/span>=<\/span><\/b>\"\"\/<\/sub>i<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span><\/span><\/b>………………………<\/b><\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

I<\/font>l
\n simbolo i <\/b>\u00e8, quindi, utilizzato
\n al posto di <\/font>\"\"\/<\/sub>.<\/span><\/p>\n

Tali
\n numeri\u00a0 <\/span>si sommano e moltiplicano
\n tra loro alla stessa maniera degli altri numeri nel rispetto delle leggi
\n e propriet\u00e0 che regolano le operazioni tra questi.<\/font> <\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Cos\u00ec
\n si avr\u00e0 che, ad esempio :<\/font><\/span><\/p>\n

<\/span><\/b><\/p>\n

i<\/span><\/span><\/font>2<\/span><\/font> <\/span><\/sup><\/font>\u00a0<\/span>= -1 ;\u00a0 <\/span>i<\/b>3<\/sup> = i2<\/sup><\/b> x i = -i\u00a0 <\/span>;\u00a0 <\/span>i<\/b>4<\/sup>\u00a0 <\/span>=\u00a0 <\/span>i2 <\/sup><\/b>x i2<\/sup> = <\/b>1 ; i<\/b>5<\/sup>
\n = i\u00a0
\n <\/span><\/b>;\u00a0 <\/span>ecc.<\/font><\/b><\/span><\/font><\/p>\n

a<\/span><\/i>i <\/span><\/b>+<\/span> <\/span><\/b>b<\/span><\/i>i\u00a0 <\/span>= (<\/span><\/b>a<\/span><\/i>
\n + b<\/i>)i<\/b> ;<\/span><\/font><\/p>\n

a<\/span><\/i>i<\/span><\/b> x <\/span>b<\/span><\/i>i = <\/span><\/b>ab<\/span><\/i>i<\/span><\/b>2<\/span><\/sup><\/font> = ab<\/i><\/font>\"\"\/<\/sub> = – ab<\/i><\/span><\/p>\n

a<\/span><\/i>i <\/span><\/b>x <\/span>(<\/span><\/b>b<\/span><\/i>i<\/span><\/b> + c<\/i>i<\/b>) = a<\/i>i
\n <\/b><\/span>x <\/span>b<\/i>i
\n + <\/b>a<\/i>i <\/b><\/span>x <\/span>c<\/i>i
\n = – <\/b>ab – ac<\/i><\/span><\/p>\n

ecc.<\/font><\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Da
\n un punto di vista puramente formale i numeri immaginari agevolarono enormemente\u00a0
\n l’esecuzione del calcolo algebrico sin dalla loro prima apparizione
\n nel XVII secolo se si tiene conto del simbolismo fino allora adottato
\n piuttosto “pesante” rispetto all’attuale.<\/span><\/font> <\/span><\/font><\/p>\n

L’introduzione del simbolo i, <\/b>cui si d\u00e0 il significato e con cui si opera come abbiamo detto,
\n ha consentito l’ampliamento del campo dei numeri reali con il campo\u00a0 <\/span>dei numeri complessi v <\/b>definiti come somma di un numero immaginario\u00a0 <\/span>b<\/i>i <\/b>e
\n <\/b>un numero reale a<\/i>: v\u00a0<\/b>=\u00a0a\u00a0<\/i>+\u00a0b<\/i>i.\u00a0 <\/span><\/b>(Per inciso, il numero\u00a0
\n <\/span>complesso \"\"\/<\/sub><\/b>\u00a0=\u00a0a\u00a0<\/i>–\u00a0b<\/i>i <\/b>\u00e8 detto coniugato di v <\/b>e il numero reale\u00a0 <\/span>v=<\/font>\"\"\/<\/sub>si chiama modulo
\n di v)<\/b><\/font><\/span><\/p>\n

I<\/font>n
\n tal modo tutti gli altri numeri non sono che numeri complessi particolari.<\/font><\/span><\/font><\/p>\n

Ad
\n esempio, un numero reale\u00a0 <\/span>\u00e8\u00a0 <\/span>un numero complesso con b\u00a0<\/i>=\u00a00 e un numero immaginario \u00e8 un numero complesso con
\n a\u00a0<\/i>=\u00a00.<\/font>\u00a0\u00a0<\/font>
\n <\/span><\/span><\/font><\/p>\n

Nel
\n campo dei numeri\u00a0 <\/span>complessi si
\n possono, a questo punto, effettuare tutte le operazioni fondamentali e
\n le loro inverse (addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevazione a
\n potenza, divisione) senza avere necessit\u00e0 di inventare altro tipo di numero
\n o simbolo.<\/font><\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Nel
\n campo complesso \u00e8 possibile affermare allora che <\/font>“Ogni equazione algebrica a
\n coefficienti complessi di ordine n qualsiasi ammette n soluzioni complesse
\n (non necessariamente tutte distinte)”<\/i>.<\/font><\/b><\/span><\/font><\/p>\n

Tale
\n teorema non \u00e8 valido se riferito al campo reale; nel senso che non si\u00a0 <\/span>pu\u00f2 affermare che “Ogni equazione algebrica a coefficienti reali di ordine n qualsiasi ha
\n n soluzioni reali (non tutte necessariamente distinte)”.<\/i><\/font><\/span><\/font><\/p>\n

Per\u00f2
\n grazie ad esso possiamo, ad esempio, affermare che “Ogni equazione algebrica a
\n coefficienti reali di ordine n dispari ammette almeno una radice reale”<\/i>
\n <\/b>cosa che non avremmo potuto fare senza l’ampliamento del campo reale
\n con i numeri complessi.<\/font><\/span><\/font><\/p>\n

<\/span><\/font><\/p>\n

Anche
\n in <\/span>geometria analitica<\/u><\/b>
\n vengono considerati enti immaginari con la stessa finalit\u00e0 accennata per
\n l’algebra (d’altra parte la geometri analitica non fa altro che tradurre
\n in algebra enti e relazioni geometriche).<\/span><\/font><\/span><\/font><\/p>\n

Cos\u00ec
\n punti immaginari (o complessi) sono caratterizzati dall’avere almeno una
\n coordinata complessa.<\/font> <\/span><\/p>\n

Le
\n rette immaginarie sono rappresentate da equazioni lineari a coefficienti
\n complessi come ad esempio la retta y = ix + 1 che \u00e8 perpendicolare a se
\n stessa<\/font>\u00a0<\/font> <\/span>\"\"\/<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Altra
\n interessante utilizzazione dei numeri complessi avviene nel calcolo vettoriale<\/u><\/b> dove un vettore
\n v<\/b>(a,b<\/i>), <\/b>di componenti a<\/i> e b
\n <\/i>in un riferimento cartesiano Oxy e di modulo v=<\/font>\"\"\/<\/sub>, si identifica
\n col numero complesso v = <\/b>a<\/i> + <\/b>b<\/i>i <\/b>(avente lo stesso modulo) e tutte le operazioni fra vettori si traducono
\n in operazioni tra numeri complessi.<\/font><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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