![\"\"](\"..\/..\/esperti\/mat\/ifzero\/Integrale.gif\"\/)
\n
Figura 1. L’Integrale di Riemann.<\/font><\/center><\/p>\n
Seguendo questa costruzione, \u00e8 evidente che la funzione
\ncitata dal lettore non pu\u00f2 essere integrabile sull’intervallo
\n[0,\u00a01]. Infatti, comunque si prendano gli “intervallini” in cui si
\nsuddivide l’intervallo [0,\u00a01], in ogni piccolo intervallo saranno compresi
\nalmeno un punto razionale e uno irrazionale: di conseguenza, i valori estremi
\nassunti dalla funzione su ogni intervallino saranno sempre 0 e 1 e, quindi,
\nl’area delle due figure “approssimanti” sar\u00e0 sempre, rispettivamente, 0
\ne 1. <\/p>\n
\n
Molto diversa, invece, \u00e8 la definizione di integrale
\ndi Lebesgue<\/i>, di cui cerchiamo di dare un’idea intuitiva senza pretesa di
\neccessivo rigore n\u00e9 di completezza; rimandiamo comunque a un testo di
\nanalisi matematica per l’universit\u00e0 per tutti i dettagli. L’idea
\n\u00e8 quella di cercare un modo diverso per “approssimare” la funzione
\ntramite funzioni “semplici”, e tale modo \u00e8 quello di operare una
\npartizione dell’insieme delle immagini invece che del dominio. <\/p>\n
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Supponiamo, per esempio, m<\/i>\u00a0=\u00a0y<\/i>0<\/sub>\u00a0<\u00a0y<\/i>1<\/sub>\u00a0<\u00a0…\u00a0<\u00a0yn<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0M<\/i><\/p>\n e ripartire il dominio in n<\/i> insiemi cos\u00ec che l’integrale esiste, come accade con \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il vantaggio \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Rispetto a questa Mi rendo conto che probabilmente questo risponde solo […]<\/p>\n","protected":false},"author":196,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2162","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2162","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/196"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2162"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2162\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2162"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2162"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2162"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\ndi voler integrare tra a<\/i> e b<\/i> una funzione limitata, cio\u00e8
\nuna funzione che assume valori compresi nell’intervallo
\n[m<\/i>,\u00a0M<\/i>]. Possiamo allora considerare una partizione di
\nquesto insieme dei valori in n<\/i> intervalli
\n[yi<\/sub><\/i>-1<\/sub>,\u00a0yi<\/sub><\/i>] dove i punti
\nyi<\/sub><\/i> sono presi in modo tale che <\/p>\n
\nD<\/i>1<\/sub>,\u00a0…,\u00a0Dn<\/sub><\/i> tali che i valori di
\nx<\/i> compresi nell’i<\/i>-esimo insieme siano esattamente quelli
\ndell’intervallo [a<\/i>,\u00a0b<\/i>] per cui la funzione assume valori
\ncompresi nell’intervallo [yi<\/sub><\/i>-1<\/sub>,\u00a0yi<\/sub><\/i>].
\nSe ora \u00e8 possibile conoscere in qualche senso la “misura”
\nai<\/sub><\/i> di ognuno degli insiemi Di<\/sub><\/i>, l’area della
\nregione di piano in considerazione (che chiamiamo ancora “integrale da a<\/i>
\na b<\/i> di f<\/i>(x<\/i>)”) soddisfa le disequazioni <\/p>\n![\"\"](\"..\/..\/esperti\/mat\/ifzero\/eq001.gif\"\/)
<\/center><\/p>\n
\nl’integrale di Riemann, se “infittendo” la partizione dell’insieme delle
\nimmagini le due quantit\u00e0 a sinistra e a destra della disequazione qui
\nsopra convergono allo stesso valore. <\/p>\n
\ndell’integrale di Lebesgue rispetto a quello di Riemann sta nel fatto che in
\ngenerale \u00e8 molto pi\u00f9 facile definire la misura di un sottoinsieme
\ndel dominio di quanto non sia “ingabbiare” una funzione “dentro” e “fuori” da
\ndelle opportune unioni di rettangoli. Sull’insieme dei numeri reali, per
\nesempio, \u00e8 definita la misura di Lebesgue<\/i>, che permette di
\nvalutare l'”estensione” di un ampia famiglia di sottoinsiemi e che possiede la
\ndesiderabile propriet\u00e0 che la misura di un intervallo coincide proprio
\ncon la sua lunghezza. <\/p>\n
\ndefinizione, si pu\u00f2 dimostrare che la funzione citata dal lettore
\n\u00e8<\/i> integrabile. \u00c8 immediato, in effetti, che l’integrale
\ndi Lebesgue della funzione considerata debba essere pari alla misura
\ndell’insieme dei numeri irrazionali compresi tra 0 e 1 (infatti, deve essere
\npari alla somma tra 0 volte la misura dell’insieme dei numeri razionali e 1
\nvolta la misura dell’insieme dei numeri irrazionali). \u00c8 possibile, a
\nquesto punto, dimostrare che la misura dell’insieme dei numeri razionali
\nappartenenti a [0,\u00a01] \u00e8 0, perch\u00e9 tale \u00e8 la misura di
\nogni sottoinsieme numerabile dell’insieme dei numeri reali: allora, la misura
\ndell’insieme dei numeri irrazionali appartenenti a [0,\u00a01] \u00e8 pari
\nalla misura dello stesso intervallo [0,\u00a01], cio\u00e8 1. L’integrale di
\nLebesgue da 0 a 1 della funzione in oggetto \u00e8 dunque 1. <\/p>\n
\n
\nparzialmente alla domanda del lettore. In effetti, \u00e8 lecito anche
\nchiedersi come si possa affermare che i numeri irrazionali nell’intervallo
\n[0,\u00a01] siano in qualche senso “pi\u00f9” dei numeri reali. Anche qui la
\nrisposta \u00e8 tutt’altro che banale e richiede una dettagliata trattazione
\nin termini di teoria della cardinalit\u00e0. \u00c8 infatti possibile
\ndimostrare che i numeri razionali sono numerabili (per la definizione di
\nnumerabilit\u00e0 e per qualche cenno alla teoria della cardinalit\u00e0
\nrimando a una mia precedente risposta<\/a>)
\nmentre i numeri reali hanno una cardinalit\u00e0 strettamente maggiore: da
\nquesto (e dal fatto che l’unione di due insiemi numerabili \u00e8 numerabile)
\nsi deduce che i numeri irrazionali hanno una cardinalit\u00e0 strettamente
\nmaggiore di quella dei numeri razionali e, quindi, che in qualche senso
\n\u00e8 ragionevole dire che i numeri razionali sono “meno numerosi” di quelli
\nirrazionali. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"