{"id":2161,"date":"2000-03-19T00:00:00","date_gmt":"2000-03-18T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2161","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2161\/","title":{"rendered":"Data la difficolt\u00e0 d’espressione del mio prof. di Geometria1, e la non meno incomunicabilit\u00e0 del mio libro di testo gradirei avere, in modo chiaro e preciso (anche se in modo non molto rigoroso va bene lo stesso) la dimostrazione del teorema di Grassman, sulla dimensione degli spazi vettoriali."},"content":{"rendered":"

Il percorso che applicheremo per arrivare all\u2019enunciato
\n del teorema di Grassman sar\u00e0 il seguente:<\/font><\/p>\n

    \n
  1. Riepilogheremo i concetti di combinazione, dipendenza,
    \n indipendenza lineare e di base di spazio vettoriale.<\/font><\/li>\n
  2. Illustreremo, con alcuni esempi, la definzione e costruzione
    \n dello spazio vettoriale somma.<\/font><\/li>\n
  3. Enunceremo la definizione e costruiremo lo spazio vettoriale
    \n intersezione.<\/font><\/li>\n
  4. Porremo in relazione i risultati ricavati per arrivare
    \n all\u2019enunciato di Grassman<\/font><\/li>\n<\/ol>\n

    dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(V\u00c7<\/font>
    \n W)<\/i><\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    Definizione: combinazione, dipendenza ed indipendenza
    \n lineare.<\/font><\/b><\/p>\n

    Siano v<\/u>1<\/sub>,\u2026,v<\/u>p<\/sub><\/i>
    \n vettori n<\/i>-dimensionali, la loro combinazione lineare<\/i> ( c.l.<\/i>)
    \n \u00e8 definita come<\/font><\/p>\n

    a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub><\/i><\/p>\n

    ove a1<\/sub>,…,ap<\/sub><\/i> sono scalari
    \n (i.e. numeri reali), detti coefficienti della combinazione lineare<\/i>.<\/font><\/p>\n

    I vettori v<\/u>1<\/sub>,\u2026,v<\/u>p<\/sub>
    \n <\/i>sono linearmente indipendenti<\/i> (l.i.<\/i>) se non \u00e8
    \n possibile esprimere alcun vettore vj<\/sub><\/u><\/i> come combinazione
    \n lineare degli altri. Se ci\u00f2 non \u00e8 verificato, i vettori
    \n sono detti linearmente dipendenti<\/i> (l.d.<\/i>).<\/font><\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n

    Definizione: basi e dimensioni di spazi vettoriali.<\/font><\/b><\/p>\n

    Sia V <\/i>spazio vettoriale immerso nello spazio n<\/i>-dimensionale
    \n E<\/i>. Esiste una n-pla di vettori v<\/u>1<\/sub>,\u2026,v<\/u>p<\/sub><\/i>
    \n <\/u>linearmente indipendenti tale che ogni vettore di V<\/i> \u00e8
    \n esprimibile come combinazione lineare dei vettori v1<\/sub><\/u>,\u2026,vp<\/sub><\/u><\/i>.
    \n Ovvero: <\/font><\/p>\n

    V={ v<\/u> : v<\/u>= a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub>
    \n }<\/i><\/p>\n

    Tali vettori vengono detti base <\/i>dello spazio vettoriale
    \n V<\/i>, e la loro numerosit\u00e0, p<\/i>, \u00e8 detta dimensione
    \n <\/i>dello spazio vettoriale V<\/i>, e si indica con dim(V)=p<\/i>.<\/font><\/p>\n

    Esempio 1<\/font><\/u><\/p>\n

    Il lettore tracci graficamente gli esempi qui presentati.<\/font><\/p>\n

    Sia u<\/u>1<\/sub>=(1,0,0), u<\/u>2<\/sub>=(0,1,0),
    \n u<\/u>3<\/sub>=(0,0,1) la base canonica<\/i> dello spazio tridimensionale
    \n E3<\/sup>.<\/font><\/p>\n

      \n
    • E3<\/sup> \u00e8 detto spazio tridimensionale
      \n <\/i>poich\u00e9 ogni sua base \u00e8 costituita di 3 vettori. <\/font><\/li>\n
    • I vettori (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (1\/4, -1\/2, 0) sono
      \n linearmente dipendenti perch\u00e9 ciascuno di essi \u00e8 scrivibile
      \n come combinazione lineare degli altri due. Ad esempio (1, 0, 0)=4 (1\/4,
      \n -1\/2, 0)+2 (0, 1, 0) e 4, 2 sono i coefficienti di questa combinazione
      \n lineare. <\/font><\/li>\n
    • I vettori (2, -3, 5), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sono linearmente
      \n indipendenti. Non \u00e8 possibile determinare dei coefficienti per
      \n cui uno sia combinazione lineare degli altri due. Al lettore la dimostrazione
      \n per esercizio. Osservazione: questi vettori formano una base di E3<\/sup>.
      \n <\/font><\/li>\n
    • Per determinare se una n-pla di vettori \u00e8 linearmente
      \n indipendente, la si pu\u00f2 collocare in una matrice e calcolarne
      \n il rango. Il numero di vettori linearmente indipendenti \u00e8 pari
      \n al rango della matrice. A<\/i>=\"\"\/<\/font><\/li>\n<\/ul>\n

      \u00e8 la matrice dell\u2019esempio ed ha rango 2, che si
      \n indica con rk(A)=2<\/i> (dall\u2019inglese, rank<\/i>. La definizione di
      \n rango di matrice ed il procedimento di riduzione<\/i> non trovano spazio
      \n di ricapitolazione in questo contesto e sono lasciati per esercizio di
      \n ripasso al lettore). <\/font><\/p>\n

      \u00a0<\/p>\n

      \u00a0<\/p>\n

      Definizione: somma ed intersezione di spazi vettoriali.<\/font><\/b><\/p>\n

      Siano V, W<\/i> spazi vettoriali immersi in E<\/i>
      \n e sia w1<\/sub><\/u>,\u2026,wq<\/sub><\/u><\/i> base vettoriale
      \n di W<\/i>. <\/font><\/p>\n

      [Domanda: che dimensione ha lo spazio W<\/i> ?].<\/font><\/p>\n

      Lo spazio vettoriale somma<\/i> V+W<\/i> \u00e8
      \n costituito dei vettori somma dei vettori che giacciono in V<\/i> e di
      \n quelli in W<\/i><\/font><\/p>\n

      V+W=<\/font><\/i>{ v<\/u>+w<\/u>
      \n : v\u00ce<\/font> <\/u>V, w\u00ce<\/font>
      \n <\/u>W }<\/i><\/p>\n

      ovvero, in termini delle basi<\/font><\/p>\n

      V+W=<\/i> { s<\/u> : s<\/u>= a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub>
      \n + b1<\/sub>w<\/u>1<\/sub>+…+bq<\/sub>w<\/u>q<\/sub>
      \n }<\/i>\t<\/p>\n

      lo spazio somma \u00e8, quindi, costituito da vettori
      \n ottenibili come combinazione lineare dei vettori della base di V<\/i>
      \n e della base di W<\/i><\/font><\/p>\n

      .<\/font><\/i><\/p>\n

      OSSERVAZIONE: i vettori v<\/u>1<\/sub>,…,v<\/u>p<\/sub>,
      \n w<\/u>1<\/sub>,…,w<\/u>q <\/sub>non sono necessariamente
      \n linearmente indipendenti, ovvero non formano una base (ma \u00e8 possibile
      \n che lo siano).<\/font><\/p>\n

      [Risposta: la dimensione di W<\/i> \u00e8 pari alla
      \n numerosit\u00e0 della sua base, cio\u00e8 q<\/i>].<\/font><\/p>\n

      Lo spazio vettoriale intersezione V<\/i><\/font>\u00c7<\/font>
      \n W<\/font><\/i> \u00e8 costituito dai vettori che giacciono
      \n contemporaneamente<\/i> in V<\/i> ed in W<\/i><\/font><\/p>\n

      V\u00c7<\/font> W={ x<\/u> :
      \n x\u00ce<\/font> <\/u>V, x\u00ce<\/font>
      \n <\/u>W }<\/i><\/p>\n

      ovvero, in termini delle basi<\/font><\/p>\n

      V\u00c7<\/font> W={ x<\/u> :
      \n x<\/u>= a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub>
      \n , x<\/u>= b1<\/sub>w<\/u>1<\/sub>+…+bq<\/sub>w<\/u>q<\/sub>
      \n }<\/i>\t\t<\/p>\n

      lo spazio intersezione \u00e8, quindi,
      \n costituito da vettori ottenibili come combinazione lineare sia della base
      \n di V<\/i> che di quella di W.<\/i> <\/font><\/p>\n

      PROBLEMA 1: trovare la dimensione del
      \n spazio vettoriale somma V+W <\/i><\/font><\/b><\/p>\n

      Non possiamo certo affermare che dim(V+W)<\/i>
      \n = dim(V)+dim(W)<\/i> perch\u00e9 alcuni vettori dell\u2019insieme di p+q<\/i>
      \n vettori v<\/u>1<\/sub>,…,v<\/u>p<\/sub>, w<\/u>1<\/sub>,…,w<\/u>q
      \n <\/sub>possono essere linearmente dipendenti. Anche perch\u00e9 V,
      \n W <\/i>sono sottospazi di E<\/i>, la cui dimensione \u00e8 finita e,
      \n diciamo, pari ad n<\/i>. Pu\u00f2 essere possibile che p+q>n<\/i>
      \n ed il sottospazio somma non pu\u00f2 certo avere dimensione maggiore
      \n di n<\/i>.<\/font><\/p>\n

      Per determinare la dimensione possiamo
      \n applicare il suggerimento fornito nell\u2019esempio 1, collocando per colonne
      \n i vettori v<\/u>1<\/sub>,…,v<\/u>p<\/sub>, w<\/u>1<\/sub>,…,w<\/u>q<\/sub>
      \n in una matrice e calcolarne il rango:<\/font><\/p>\n

      \"\"\/<\/p>\n

      il procedimento di riduzione che si applica per il calcolo
      \n del rango della matrice, infatti, elimina i vettori linearmente dipendenti.
      \n I vettori restanti costituiscono una base per lo spazio vettoriale cercato.<\/font><\/p>\n

      Esempio 2<\/font><\/u><\/p>\n

      Sia V<\/i> lo spazio vettoriale di base { (1, 0, 0),
      \n (0, 1, 0) }e W<\/i> lo spazio vettoriale di base { (1\/4, -1\/2, 0) }.<\/font><\/p>\n

        \n
      • dim(V)=2 <\/i>e dim(W)=1 <\/i><\/font><\/li>\n
      • V+W=<\/i>{ s<\/u> : s <\/u><\/i>= a <\/i>(1,
        \n 0, 0) + b<\/i> (0, 1, 0) + c<\/i> (1\/4, -1\/2, 0) } <\/font><\/li>\n
      • Abbiamo visto, nell\u2019esempio 1, che i vettori della
        \n base di V<\/i> e di W<\/i> sono linearmente dipendenti, quindi lo
        \n spazio somma non ha dimensione 3, per verificare questo fatto, abbiamo
        \n collocato i tre vettori in nella matrice e calcolato che rk(A)=2.
        \n <\/i><\/font><\/li>\n
      • Pertanto, dim(V+W) = 2<\/i>. <\/font><\/li>\n
      • Si immagino due sottospazi bidimensionali dello spazio
        \n tridimensionale. Il sottospazio somma non pu\u00f2 avere dimensione
        \n 4 perch\u00e9 immerso in uno spazio di dimensione 3. Ci\u00f2 implica
        \n che uno o due dei vettori di base \u00e8 c.l. degli altri. <\/font><\/li>\n
      • Esercizio per il lettore: calcolare la dimensione dello
        \n spazio somma dello spazio vettoriale <\/font><\/li>\n
      • V: <\/i>base.<\/i> {(0, 1, -1) ,<\/i> (1\/4, -1\/2,
        \n 0)} <\/font><\/li>\n
      • W:<\/i> base { (0, 0, 1) , (0, 1, 0) }<\/font><\/li>\n<\/ul>\n

        PROBLEMA 2: trovare la dimensione dello spazio vettoriale
        \n intersezione V<\/i><\/font><\/b>\u00c7<\/font>
        \n W <\/font><\/i><\/b><\/p>\n

        Il quesito non \u00e8 complesso, se affrontato con spirito
        \n di osservazione ed un pizzico di intuizione.<\/font><\/p>\n

        Innanzitutto si inizi dalla definizione di spazio intersezione.<\/font><\/p>\n

        V\u00c7<\/font> W={ x<\/u> :
        \n x<\/u>= a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub>
        \n , x<\/u>= b1<\/sub>w<\/u>1<\/sub>+…+bq<\/sub>w<\/u>q<\/sub>
        \n }<\/i><\/p>\n

        dobbiamo ricercare quei vettori che soddisfino contemporaneamente
        \n due caratteristiche, l\u2019una di essere c.l. dei vettori della base di V<\/i>,
        \n l\u2019altra di essere c.l. dei vettori della base di W<\/i>. Questa condizione
        \n \u00e8 espressa dalla definizione dello spazio intersezione.<\/font><\/p>\n

        Poich\u00e9 entrambi le c.l. devono restituire lo stesso
        \n valore di vettore, allora possiamo scrivere, ponendo ap+1<\/sub>=
        \n – b1<\/sub>,…, ap+q <\/sub>= -bq<\/sub><\/i>:<\/font><\/p>\n

        a1<\/sub>v<\/u>1<\/sub>+…+ap<\/sub>v<\/u>p<\/sub>
        \n + ap+1<\/sub>w<\/u>1<\/sub>…+ ap+q<\/sub> w<\/u>q
        \n <\/sub>= 0<\/i><\/p>\n

        una equazione nel vettore di p+q<\/i> incognite y<\/u>
        \n = a1<\/sub>,…,ap<\/sub>,ap+1<\/sub>,<\/u>…,ap+q<\/sub><\/i>
        \n la cui soluzione \u00e8 lo spazio dei vettori x<\/u><\/i> cercato,
        \n l\u2019insieme intersezione V<\/i><\/font>\u00c7<\/font>
        \n W.<\/font><\/i><\/p>\n

        Con un pizzico di intuizione decidiamo di scrivere l\u2019equazione
        \n in forma matriciale <\/font><\/p>\n

        A y<\/u> <\/i>= 0<\/p>\n

        si indovini un p\u00f2 qual\u2019\u00e8 la matrice A<\/i>
        \n ?<\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/p>\n

        lo spazio delle soluzioni del sistema A y<\/u> <\/i>=
        \n 0 ha dimensione p+q-rk(A)<\/i> .<\/font><\/p>\n

        Da cui <\/font><\/p>\n

        dim(V\u00c7<\/font> W)=p+q-rk(A)<\/i><\/p>\n

        \u00a0<\/p>\n

        Esempio 3<\/u><\/font><\/p>\n

        Si riconsiderino gli spazi vettoriali degli esempi precedenti
        \n V<\/i>, di base { (1, 0, 0), (0, 1, 0) }e W,<\/i> di base { (1\/4,
        \n -1\/2, 0) }:<\/font><\/p>\n

          \n
        • dim(V)=2 <\/i>e dim(W)=1 <\/i><\/font><\/li>\n
        • ricerchiamo lo spazio intersezione mediante l\u2019equazione
          \n che lo definisce:<\/font><\/li>\n<\/ul>\n

          V<\/font><\/i>\u00c7<\/font>
          \n W =<\/font><\/i>{ x<\/u> : x <\/u><\/i>= a <\/i>(1,
          \n 0, 0) + b<\/i> (0, 1, 0) , x<\/u> = c<\/i> (1\/4, -1\/2, 0) }<\/font><\/p>\n

            \n
          • in forma di equazione, ponendo a3<\/sub>=-c<\/i>:<\/font><\/li>\n<\/ul>\n

            a1<\/sub> <\/i>(1, 0, 0) + a2<\/sub><\/i>
            \n (0, 1, 0) + a3<\/sub><\/i> (1\/4, -1\/2, 0) = 0<\/font><\/p>\n

              \n
            • in forma matriciale A y<\/u> <\/i>= 0:<\/font><\/li>\n<\/ul>\n

              \"\"\/<\/p>\n

                \n
              • lo spazio delle soluzioni ha dimensione p+q-rk(A)=3-2=1<\/i>.
                \n Al lettore \u00e8 lasciato per esercizio il compito di risolvere il
                \n sistema e di verificare che lo spazio delle soluzioni \u00e8 funzione
                \n di una sola incognita e, quindi, ha dimensione 1. <\/font><\/li>\n
              • quindi: dim(V<\/i><\/font>\u00c7<\/font>
                \n W)=p+q-rk(A)=1<\/font><\/i><\/li>\n<\/ul>\n

                \u00a0<\/p>\n

                Il Teorema di Grassman<\/font><\/b><\/p>\n

                Siano V, W<\/i> sottospazi vettoriali
                \n di E<\/i>, di dimensione finita n<\/i>, allora<\/font><\/p>\n

                dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(V\u00c7<\/font>
                \n W)<\/i><\/p>\n

                Dimostrazione<\/font><\/u><\/p>\n

                Sia u<\/u>1<\/sub>, …, u<\/u>n<\/sub> base
                \n canonica di E<\/i> e sia v<\/u>1<\/sub>,…,v<\/u>p <\/sub>una
                \n base del sottospazio V<\/i>, w<\/u>1<\/sub>,…,w<\/u>q<\/sub>
                \n una base del sottospazio W<\/i>.<\/font><\/p>\n

                La matrice A<\/i>, ottenuta esprimendo i vettori delle
                \n due basi in funzione della base canonica di E<\/i><\/font><\/p>\n

                \"\"\/\t[1]<\/font><\/p>\n

                \u00e8 tale che, per costruzione,<\/font><\/p>\n

                rk(A)=dim(V+W)<\/i>\t\t\t[2]<\/font><\/p>\n

                Inoltre, una base dello spazio vettoriale intersezione
                \n V<\/i><\/font>\u00c7<\/font>
                \n W <\/font><\/i>\u00e8 ottenuta da un sistema di n <\/i>equazioni
                \n in p+q<\/i> incognite, la cui rappresentazione matriciale \u00e8 data
                \n dal sistema<\/font><\/p>\n

                A y<\/u> <\/i>= 0\t\t[3]<\/font><\/p>\n

                ove y<\/u> <\/i>\u00e8 il vettore delle p+q<\/i>
                \n incognite.<\/font><\/p>\n

                La dimensione dello spazio vettoriale soluzione del sistema
                \n [3] \u00e8 pari a p+q-rk(A) <\/i>, da cui, per la [2]:<\/font><\/p>\n

                dim(V\u00c7<\/font> W) = p + q
                \n – rk(A) = dim(V)+dim(W)-dim(V+W)<\/i><\/p>\n

                da cui, portando dim(V+W) <\/i>al primo membro, si ottiene
                \n la tesi<\/font><\/p>\n

                dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(V\u00c7<\/font>
                \n W)<\/i><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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