{"id":2159,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2159","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2159\/","title":{"rendered":"Commento di Piergiorgio Odifreddi alla domanda\/risposta sul teorema di Godel<\/a>."},"content":{"rendered":"
\n

Le conseguenze del teorema di Godel per l’epistemologia della
\n matematica ci sono, ma sono limitate e meno estese di quanto si suole in genere
\n affermare, soprattutto negli scritti divulgativi. Il teorema dice che gli
\n usuali sistemi formali della matematica che contengano una minima parte dell’aritmetica
\n sono incompleti, nel senso che non possono dimostrare tutte le verita’ esprimibili
\n nel linguaggio della teoria.<\/p>\n

E’ dunque in gioco l’incompletezza, che riguarda l’insieme di tutte le possibili
\n verita’, da quelle piu’ stupide e superficiali a quelle piu’ profonde. I matematici
\n non sono MAI stati interessati a TUTTE le (infinite) verita’, ma solo ad un
\n piccolo numero (finito) di esse, significative da qualche punto di vista particolare.
\n Il teorema di Godel non dice nulla sulla indimostrabilita’ o indecidibilita’
\n di queste singole affermazioni, in particolare sui principali problemi aperti
\n della matematica, e parla solo dell’indecidibilita’ della MAGGIOR PARTE delle
\n affermazioni. Il che non significa affatto che quelle interessanti in teoria
\n o in pratica non possano poi risultare decidibili in un senso o nell’altro:
\n ad esempio, per qualche tempo si e’ pensato che il cosiddetto teorema di Fermat
\n potesse essere vero ma indimostrabile, e poi lo si e’ invece dimostrato. In
\n sintesi, il teorema di Godel riguarda QUANTO si possa sapere della verita’
\n matematica (e la risposta e’ POCO), ma non dice COSA (non) si possa sapere.<\/p>\n

Le limitazioni del teorema di Godel non sono comunque piu’ devastanti di quelle
\ndi Cantor o di Turing, che hanno rispettivamente dimostrato che quasi tutti i
\nnumeri reali non si possono definire, e quasi tutte le funzioni di
\nnumeri interi non si possono calcolare. Il che non impedisce che noi continuiamo
\nad interessarci ai pochi numeri reali definibili (fra i quali ci sono, per
\nforza di cose, tutti quelli noti, dai razionali a pi greco), o delle poche
\nfunzioni calcolabili (fra le quali ci sono tutte quelle che possono calcolare i
\ncomputer, e dunque tutte quelle di interesse per
\nl’informatica teorica o pratica).<\/p>\n

In ogni caso, voler estendere il teorema di Godel ad altri ambiti che non sono
\ni suoi propri e’ pericoloso, e puo’ generare fraintendimenti. Tanto per cominciare,
\nnon lo si puo’ neppure estendere a tutti i sistemi matematici:
\n ad esempio, la teoria elementare della geometria e’ completa, come ha dimostrato
\n Tarski, e dunque le limitazioni di Godel richiedono in modo essenziale l’aritmetica.
\n Non parliamo poi delle estensioni ad ambiti che non sono neppure strettamente
\n matematici, dalla fisica alla politica. La mia opinione e’ che in questi campi
\n sia meglio lasciar perdere i teoremi di Godel, e considerare limitazioni intrinseche,
\n dal principio di indeterminazione di Heisenberg e il teorema di Bell nel primo
\n caso, ai teoremi di Arrow e Sen nel secondo (sui quali credo ci siano dei
\n miei saggi nella pagina web curata da Sirtoli<\/u><\/a>).<\/p>\n

Cio’ detto, e’ innegabile che tutti questi risultati dimostrino che ci sono limiti
\nalla conoscenza, e che la “verita’” si possa soltanto approssimare in
\nmaniera estremamente ristretta. Ma questo puo’ turbare soltanto coloro che
\ncredevano che si potesse sapere tutto. Per me l’interesse dei teoremi limitativi
\nnon sta nel fatto che essi mostrino limiti alla conoscenza matematica
\ndell’universo, ma che lo dimostrino in maniera matematica! In altre
\nparole, il pensiero formale sara’ pure limitato, ma fra le sue limitazioni non
\nc’e’ quella di non sapere di essere limitato! Conoscere i propri limiti, non e’
\nforse l’espressione piu’ alta della consapevolezza?<\/p>\n

<\/p>\n

Piergiorgio Odifreddi, Dipartimento
\ndi Matematica, <\/span>Torino
\ne-mail: piergior@dm.unito.it<\/a><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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