{"id":2157,"date":"2000-11-05T00:00:00","date_gmt":"2000-11-04T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2157","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2157\/","title":{"rendered":"Devo con rincrescimento ammettere che la funzione data all\u2019esame di maturit\u00e0 scientifica del corrente anno mi ha lasciato molto perplesso anche dopo aver visto la soluzione data sui giornali."},"content":{"rendered":"

La funzione da studiare era la seguente:<\/span><\/i><\/span><\/p>\n



\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span>

\n \"\"\/ <\/p>\n

Quest’anno non ho
\n avuto modo di seguire lo sviluppo dei compiti di maturit\u00e0 e, vedendo il
\n quesito, le confesso di essere rimasto perplesso. Non si tratta di un
\n quesito difficile ma, dato il contesto in cui \u00e8 stato posto, mi fa pensare
\n pi\u00f9 ad uno sgambetto agli studenti, che ad una occasione di verifica e
\n confronto delle conoscenze dei candidati.<\/span><\/p>\n

Per quanto riguarda
\n il quesito, la funzione cercata deve essere sicuramente continua e derivabile
\n nell’intervallo [0,2], con derivata prima non necessariamente continua,
\n come vedremo in seguito.<\/span><\/p>\n

Ci\u00f2 che stiamo cercando
\n \u00e8 una funzione F(x)<\/i> tale che<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[1]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

essendo la f(x) <\/i>integrabile per ipotesi.<\/span><\/p>\n

Dalla ipotesi, per
\n definizione di integrale,\u00a0 <\/span>si ha<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[2]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

e<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[3]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

da cui si ottiene,
\n sottraendo la [3] dalla [2]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[4]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Ricordando la definizione
\n di funzione crescente\/decrescente<\/i><\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

f(x) \u00e8 crescente sse f(x1<\/sub>)
\n <\/span><\/i>\u00b3<\/span><\/span><\/i> f(x0<\/sub>)
\n per x1<\/sub> <\/span><\/i>\u00b3<\/span><\/span><\/i> x0<\/sub>
\n \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span><\/span><\/i>[5]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

f(x) \u00e8 decrescente sse f(x1<\/sub>)
\n <\/span><\/i>\u00a3<\/span><\/span><\/i> f(x0<\/sub>)
\n per x1<\/sub> <\/span><\/i>\u00b3<\/span><\/span><\/i> x0<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span><\/span><\/i>[6]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

questi risultati ci
\n indicano altri indizi sulla funzione cercata:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

1.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/span>F(x) <\/span><\/i>\u00e8 crescente in [0,1], perch\u00e9 F(1) –
\n F(0) <\/i>> 0, ovvero F(1) >
\n F(0) <\/i>ed\u00a0 <\/span>1 > 0 (per la [5])<\/span><\/p>\n

2.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/span>F(x)<\/span><\/i> \u00e8 decrescente in [1,2], perch\u00e9 F(2)-F(1)<\/i>
\n < 0, ovvero F(1) > F(2)<\/i>,
\n e 2 > 1 (per la [6])<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

e F(x)<\/i> ha un massimo locale in 1. Riscrivendo le [2] e [3], otteniamo
\n le relazioni che definiscono la famiglia di funzioni cercate, ovvero funzioni
\n per cui valga:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

3.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span><\/i>F(1) = 2 + F(0)<\/span><\/i><\/p>\n

4.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span><\/span><\/i>F(2)=-5 + F(0)<\/span><\/i><\/span><\/i><\/p>\n

Proviamo a scrivere
\n l’espressione di una funzione che soddisfi i 4 punti precedenti.<\/span><\/p>\n

Definiamo innanzitutto
\n la funzione<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

G(x)=F(x)-F(0)<\/span><\/i>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[7]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

e calcoliamone la
\n derivata prima<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

g(x)=G'(x)=F'(x)-F(0)’=f(x)<\/span><\/i>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[8]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

perch\u00e9 F(0) <\/i>\u00e8 una costante e la derivata di una
\n funzione costante \u00e8 nulla.<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

La [8] suggerisce
\n che la famiglia di funzioni cercate \u00e8 definita a meno
\n di una costante<\/i>, F(0)<\/i>. Essendo
\n g(x)=f(x)<\/i>, ovvero le funzioni derivate
\n sono identiche, possiamo ricercare la soluzione per la funzione G(x)<\/i>, che consente di rimuovere la costante
\n F(0)<\/i>, infatti, sostituendo le
\n [2] e [3] nella [7], otteniamo :<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

G(1) = F(1)-F(0) =2<\/span><\/i>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[9]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

G(2) = F(2)-F(0) = -5\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n <\/span><\/span><\/i>[10]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

G(0) = F(0)-F(0) = 0 <\/span><\/i>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[11]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

La funzione G(x) <\/i>passa per i punti (0,0), (1,2) e (2,
\n -5), la funzione pi\u00f9 semplice che soddisfi queste condizioni \u00e8 la spezzata
\n di Fig. 1:<\/span><\/p>\n

\"\"\/\n <\/div>\n

<\/span><\/i>
\n <\/p>\n

Fig. 1: Una delle funzioni nella famiglia cercata<\/span><\/p>\n

<\/span><\/i><\/p>\n

definita dall’unione
\n delle rette passanti per i tre punti (0,0), (1,2) e (2, -5),:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[12]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

Infine, verifichiamo
\n che la funzione trovata soddisfi le ipotesi (si osservi che questo passaggio
\n \u00e8 inutile, in quanto l’ipotesi \u00e8 soddisfatta per le [8], [9] e [10]),
\n deriviamo:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <\/span>[13]<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

e ricalcoliamo gli
\n integrali dell’ipotesi:<\/span><\/p>\n

<\/span><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/span><\/p>\n

<\/span><\/span><\/p>\n

e<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2157","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2157","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2157"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2157\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2157"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2157"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2157"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}