{"id":2156,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2156","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2156\/","title":{"rendered":"Folium di Cartesio -> x^3+y^3-3*x*y=0;\r\nIl passaggio alla polare \u00e8 semplice dato che x= Cos[t] e y= Sin[t] si ottiene:\r\nr=(3*Sin[t]*Cos[t])\/(Cos[t]^3+Sin[t]^3);\r\nusando MATHEMATCA si ottiene la curva con PolarPlot[r,{t,0,2Pi}];\r\nE&#8217; possibile ottenere la parametrica?"},"content":{"rendered":"<p>Prima di rispondere al lettore \u00e8 opportuno esporre<br \/>\n        una serie di precisazioni.<\/p>\n<p>Dato un sistema di riferimento, un sottoinsieme di<br \/>\n        punti nello spazio <i>n-<\/i>dimensionale pu\u00f2 essere<br \/>\n        descritto in forma generale mediante una equazione,<br \/>\n        funzione o proposizione nel sistema di riferimento<br \/>\n        prescelto. <\/p>\n<p>La <i>forma<\/i> in cui viene espressa l\u2019equazione<br \/>\n        o proposizione che definisce i punti nel piano viene<br \/>\n        definita <\/p>\n<ul>\n<li><i>implicita<\/i>, se l\u2019equazione \u00e8 del tipo<br \/>\n                <i>f(x<\/i><sub><i>1<\/i><\/sub><i>,\u2026,x<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub><i>)=0<\/i><\/li>\n<li><i>esplicita<\/i>, se l\u2019equazione \u00e8 del tipo<br \/>\n                <i>x<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub><i>=g(x<\/i><sub><i>1<\/i><\/sub><i>,\u2026,x<\/i><sub><i>n-1<\/i><\/sub><i>)<br \/>\n                <\/i><\/li>\n<li><i>parametrica<\/i>, se <i>(x<\/i><sub><i>1<\/i><\/sub><i>,\u2026,x<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub><i>)=(<br \/>\n                x<\/i><sub><i>1<\/i><\/sub><i>(t),\u2026,x<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub><i>(t))<\/i>,<br \/>\n                ovvero l\u2019n-pla di coordinate \u00e8 scrivibile<br \/>\n                come funzione del solo parametro <i>t<\/i><\/li>\n<\/ul>\n<p>ci\u00f2 <i>indipendentemente<\/i> dal sistema di<br \/>\n        coordinate utilizzato.<\/p>\n<p>Si consideri, ad esempio, lo spazio bidimensionale (il<br \/>\n        <i>piano<\/i>) e la circonferenza con centro<br \/>\n        nell\u2019origine del sistema di riferimento e raggio <i>r.<\/i><br \/>\n        La fig. 1 illustra le tre forme dell\u2019equazione per i<br \/>\n        sistemi di riferimento cartesiano e polare.<\/p>\n<div align=\"center\"><center><\/p>\n<table width=\"450\" cellspacing=\"1\" cellpadding=\"4\" border=\"1\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>Sistema di<br \/>\n                Riferimento<\/i><\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>Forma<\/i><\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>Equazione<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Cartesiano<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">implicita<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">x<sup>2<\/sup>+y<sup>2<\/sup>=r<sup>2<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Cartesiano<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">esplicita<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">n.d.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Cartesiano<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">parametrica<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>(R Cos(t),R<br \/>\n                Sin(t))<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Polare<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">implicita<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>R \u2013 r = 0<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Polare<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">esplicita<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>R = r<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">Polare<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\">parametrica<\/td>\n<td width=\"33%\" valign=\"top\"><i>(r, t)<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>        <\/center><\/div>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 1:<br \/>\n        Equazione della circonferenza di raggio <i>r<\/i> in forme<br \/>\n        e sistemi di riferimento vari<\/font><\/p>\n<p>In fig. 1 <i>R<\/i> e <i>t <\/i>sono \u00e8 la variabili che<br \/>\n        esprimono il raggio e l\u2019angolo di riferimento per le<br \/>\n        coordinate polari, <i>x<\/i> e <i>y<\/i> le variabili di<br \/>\n        ascissa ed ordinata del piano cartesiano, mentre <i>r <\/i>\u00e8<br \/>\n        una costante (il raggio della circonferenza). Si osservi<br \/>\n        che la forma esplicita <i>y=f(x) <\/i>dell\u2019equazione<br \/>\n        della circonferenza non \u00e8 disponibile perch\u00e9 la<br \/>\n        funzione <i>f<\/i> non \u00e8 analitica, mappando valori<br \/>\n        dell\u2019ascissa in coppie di ordinate (le<br \/>\n        determinazioni positiva e negativa della radice<br \/>\n        quadrata).<\/p>\n<p>Come si evince dalla fig. 1, la scrittura della forma<br \/>\n        parametrica di un equazione in coordinate polari <br \/>\n        <i>R = f(t) <\/i>\u00e8 <i>(f(t),t). <\/i><\/p>\n<p>Se ho ben interpretato la domanda, ci\u00f2 che interessa<br \/>\n        al lettore \u00e8 un processo per scrivere un equazione in <i>forma<br \/>\n        parametrica in coordinate cartesiane<\/i>, a partire dalla<br \/>\n        forma esplicita in coordinate polari. Il procedimento<br \/>\n        consta di una semplice conversione tra i due sistemi di<br \/>\n        coordinate. Si consideri la Fig. 2.<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"230\" height=\"190\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/rifcart.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig.2: Sistema di<br \/>\n        riferimento cartesiano e polare<\/font><\/p>\n<p>La conversione tra coordinate polari e cartesiane<br \/>\n        consiste nel determinare una coppia di valori <i>(x,y)<\/i><br \/>\n        per ogni coppia <i>(R,t)<\/i>, mediante<\/p>\n<p align=\"center\"><i>x = R cos(t), y = R sin(t)<\/i><\/p>\n<p>Riassumendo, per scrivere l\u2019equazione parametrica<br \/>\n        in coordinate cartesiane a partire dall\u2019espressione<br \/>\n        della forma esplicita in coordinate polari si opera come<br \/>\n        segue:<\/p>\n<ol>\n<li>sia <i>R = f(t) <\/i>l\u2019equazione in forma<br \/>\n                esplicita in coordinate polari<\/li>\n<li><i>(R, t) = (f(t), t) <\/i>\u00e8 l\u2019equazione<br \/>\n                parametrica in coordinate polari<\/li>\n<li>si converte l\u2019ultima espressione in<br \/>\n                coordinate cartesiane ottenendo <\/li>\n<\/ol>\n<p align=\"center\"><i>( f(t) cos(t)<\/i>, <i>f(t) sin(t) ) <br \/>\n        <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"62\" height=\"22\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/Image49.gif\" alt=\"\"\/><\/i><\/p>\n<p>Applichiamo ora il metodo al Folium di Descartes,<\/p>\n<ol>\n<li>l\u2019equazione in forma esplicita in coordinate<br \/>\n                polari \u00e8<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"118\" height=\"42\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/Image50.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<li>la forma parametrica (in coordinate polari) \u00e8 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"116\" height=\"42\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/Image51.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<li>in coordinate cartesiane<\/li>\n<\/ol>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"257\" height=\"42\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/Image52.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p>ove l\u2019equazione polare si ottiene sostituendo <i>x<br \/>\n        = R cos(t), y = R sin(t) <\/i>nell\u2019equazione<br \/>\n        implicita del Folium<\/p>\n<p align=\"center\"><i>x<\/i><sup><i>3<\/i><\/sup><i>+y<\/i><sup><i>3<\/i><\/sup><i>-3xy<br \/>\n        = 0<\/i><\/p>\n<p>Proviamo quindi a tracciare il Folium con <i>Mathematica<\/i>:<\/p>\n<p><font face=\"Courier New\">In[1] =<\/font><\/p>\n<p><font face=\"Courier New\">r = 3 Cos[t]<br \/>\n        Sin[t]\/(Cos[t]^3+Sin[t]^3);<\/font><\/p>\n<p><font face=\"Courier New\">In[2] =<\/font><\/p>\n<p><font face=\"Courier New\">ParametricPlot[{r Cos[t], r<br \/>\n        Sin[t]}, {t, 0.01, 2 Pi}]<\/font><\/p>\n<p>il cui risultato \u00e8 in figura 3<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"185\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/folium\/Image53.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig.3: Folium di<br \/>\n        Descartes tracciato con <i>Mathematica<\/i><\/font><\/p>\n<p>Si osservi che il motore grafico del <i>Mathematica<\/i><br \/>\n        interpreta erroneamente come connessi i due punti<br \/>\n        all\u2019infinito, la figura va quindi intesa senza la<br \/>\n        retta che passa per i punti <i>(-1, 0)<\/i> e <i>(0, -1)<\/i>.<\/p>\n<p>Ancora un\u2019ultima osservazione: ovviamente, la<br \/>\n        forma parametrica proposta dal metodo non \u00e8 l\u2019unica<br \/>\n        possibile. L\u2019equazione parametrica<br \/>\n        &#8220;ufficiale&#8221; del Folium nel sistema di<br \/>\n        riferimento cartesiano \u00e8<\/p>\n<p align=\"center\">(3 a t\/(1+t<sup>3<\/sup>), 3 a t<sup>2<\/sup>\/(1+t<sup>3<\/sup>)<br \/>\n        )<\/p>\n<p>ove <i>a <\/i>\u00e8 un parametro di scala reale positivo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[68],"tags":[],"class_list":["post-2156","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2156","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2156"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2156\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2156"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2156"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2156"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}