{"id":2155,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2155","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2155\/","title":{"rendered":"Tempo fa mi \u00e8 capitato di dover risolvere un problema che pi\u00f9 o meno diceva “calcolare in quanti modi una persona pu\u00f2 salire una gradinata di sedici scalini facendo passi o da uno o da due gradini alla volta. Il problema si poteva risolvere facilmente (senza analizzare caso per caso) utilizzando la serie di Fibonacci.(1,1,2,3,5,8,13,21………) Chi era Fibonacci e a cosa serviva e serve la sua serie?"},"content":{"rendered":"

Leonardo
\n “Pisano” Fibonacci <\/b><\/font><\/p>\n

Fibonacci (Leonardo), detto Leonardo Pisano,
\n matematico italiano (Pisa 1175 circa – 1240 circa). Dopo
\n avere assimilato, durante numerosi viaggi, le conoscenze
\n matematiche del mondo arabo, pubblic\u00f2 intorno al 1202 la
\n sua opera fondamentale, il Liber abaci<\/i>, con cui si
\n propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale
\n le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema
\n decimale ad oggi in uso in Europa. Nato in Italia e
\n vissuto in Nord Africa, con i suoi numerosi viaggi a
\n fianco del padre ha avuto occasione di riconoscere i
\n vantaggi offerti dai sistemi matematici localmente in
\n uso. <\/p>\n

Nel Liber Abaci<\/i> (“Il Libro
\n dell\u2019Abaco”), in cui Fibonacci espone i
\n fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi Arabi,
\n un problema fornisce l\u2019occasione per
\n l\u2019introduzione della serie numerica che oggi porta
\n il nome del matematico pisano e che si riscontra in
\n numerosi esempi in natura. Tra questi,
\n l\u2019approssimazione del Rapporto Aureo.<\/p>\n

Fibonacci pubblica nel 1220 il Pratica Geometriae<\/i>
\n (“La Pratica della Geometria”), in cui espone
\n esaustivamente concetti di geometria e trigonometria e,
\n nel 1225, il Liber Quadratorum<\/i> (“Il Libro dei
\n Quadrati”) in cui espone un metodo per approssimare
\n le radici quadrate e cubiche con una precisione di nove
\n cifre.<\/p>\n

[S] La serie di
\n Fibonacci<\/b><\/font><\/p>\n

La serie di Fibonacci \u00e8 una successione di interi
\n definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui
\n l\u2019elemento successivo \u00e8 calcolato come somma degli
\n ultimi due. <\/p>\n

Una definizione pi\u00f9 formale \u00e8:<\/p>\n

Fib(0) = 1<\/i><\/p>\n

Fib(1) = 1<\/i><\/p>\n

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) <\/i>se n>1<\/i><\/p>\n

si osservi che il valore della funzione Fib<\/i> \u00e8
\n definito in termini della funzione stessa. Funzioni di
\n questo tipo sono dette ricorsive<\/i> e vengono
\n definite da equazioni dette ricorrenti<\/i> o alle
\n differenze<\/i>.<\/p>\n

Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a
\n partire dalla definizione informale, in cui costruiamo
\n l\u2019elemento successivo per somma degli ultimi due,
\n iniziando dalla coppia 1, 1:<\/p>\n

1 (primo numero iniziale)<\/p>\n

1 (secondo numero iniziale)<\/p>\n

2 = 1+ 1 (somma degli ultimi due)<\/p>\n

3 = 2 +1 ( …. come sopra … )<\/p>\n

5 = 3 + 2<\/p>\n

8 = 5 + 3 ( …. come sopra … )<\/p>\n

…<\/p>\n

Applichiamo invece la definizione ricorsiva per
\n calcolare Fib<\/i>(4)<\/i>, ovvero il quinto elemento
\n della successione (osservazione: il primo elemento \u00e8 Fib(0)<\/i>
\n )<\/p>\n

Fib(4) <\/i><\/p>\n

=<\/i><\/p>\n

Fib(3) + Fib(2) <\/i><\/p>\n

=<\/i><\/p>\n

Fib(2)+Fib(1) + Fib(1) + Fib(0)<\/i><\/p>\n

=<\/i><\/p>\n

Fib(1) + Fib(0) + 1 + 1 + 1<\/i><\/p>\n

=<\/i><\/p>\n

1 + 1 + 1 + 1 + 1<\/i><\/p>\n

=<\/i><\/p>\n

5<\/i><\/p>\n

Si osservi anche che la definizione ricorsiva, sebbene
\n pi\u00f9 compatta, \u00e8 computazionalmente svantaggiosa
\n rispetto alla definizione informale, presentata in forma
\n iterativa. In altri termini, il calcolo dell\u2019n<\/i>-mo
\n <\/i>elemento della successione genera un albero<\/i> di
\n computazioni dell\u2019ordine del quadrato di n<\/i>.
\n Ci\u00f2 significa che per calcolare Fib(4)<\/i> abbiamo
\n impiegato circa sedici operazioni. <\/p>\n

Col metodo esplicito l\u2019ordine delle computazioni
\n \u00e8 di n<\/i>, in quanto per calcolare Fib(n) <\/i>dobbiamo
\n generare tutti e soli i valori degli elementi precedenti.<\/p>\n

Il vantaggio della formulazione mediante equazioni
\n alle ricorrenze consiste nella facolt\u00e0 di trovare, con
\n un metodo generalizzato per le equazioni alle ricorrenze
\n (brevemente esposto nel seguito), una formulazione
\n esplicita per il valore di Fib(n)<\/i>:<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

ove \"\"\/ <\/font>\u00e8 il valore del Rapporto Aureo,
\n pari a <\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

Si osservi che la formula esplicita proposta \u00e8
\n semplificata, producendo una serie di Fibonacci a partire
\n dalla coppia 0, 1.<\/p>\n

[S] Natura, Estetica e
\n numeri di Fibonacci<\/b><\/font><\/p>\n

Gli esempi in natura di elementi che richiamano la
\n serie di Fibonacci sono numerosissimi. La serie di
\n Fibonacci approssima il numero di placche che si contano
\n procedendo per circonferenze, a partire dalla base in un
\n frutto di ananas, analoghi esempi valgono per le pigne, i
\n lati della banana, la struttura dei grappoli d\u2019uva
\n eccetera.<\/p>\n

Tuttavia, l\u2019esempio pi\u00f9 eclatante \u00e8 dato dalla
\n connessione con il Rapporto Aureo. Gli studi di Leonardo
\n Da Vinci sul corpo umano hanno indicato come Rapporto
\n Aureo<\/i> il rapporto esteticamente pi\u00f9 piacevole tra le
\n lunghezze del corpo umano (ad esempio tronco\/gambe).<\/p>\n

In un segmento, si fissi un punto intermedio in modo
\n che lo divida in parti diseguali. Le parti sono dette in
\n Rapporto Aureo se la parte pi\u00f9 corta \u00e8 proporzionata
\n alla pi\u00f9 lunga allo stesso modo della parte lunga
\n rispetto all\u2019intero segmento.<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

ovvero, supponendo che AB<\/i> misuri x<\/i> e BC
\n <\/i>misuri y<\/i>,<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

che definisce il Rapporto Aureo. Sostituendo alla
\n precedente <\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

si ottiene<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

ovvero<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

da cui<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

da cui la determinazione della radice positiva perch\u00e9
\n il rapporto \u00e8 tra lunghezze di segmenti<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

Un rettangolo i cui lati siano in Rapporto Aureo \u00e8
\n detto Rettangolo Aureo. Esempi di Rettangolo Aureo sono
\n le carte in formato standard ISO, come Bancomat, carte di
\n credito, carte SIM per telefoni cellulari.<\/p>\n

Il rapporto di due numeri consecutivi nella serie di
\n Fibonacci approssima il Rapporto Aureo, ad esempio:<\/p>\n

8\/5 = 1.6 ; 13\/8 = 1.625; 21\/13 = 1.615 \u2026<\/p>\n

pi\u00f9 esattamente, il rapporto tra elementi successivi
\n della serie tende al Rapporto Aureo. Ci\u00f2 significa che Fib(n+1)\/Fib(n)<\/i>,
\n per n <\/i>molto grande, assume un valore molto
\n prossimo a \"\"\/.
\n Rettangoli 8×5, 13×8, 21×13 sono, quindi, approssimazioni
\n via via pi\u00f9 esatte di Rettangoli Aurei.<\/p>\n

[U] Il calcolo della
\n formula esplicita <\/b><\/font><\/p>\n

Si costruisce il vettore delle
\n condizioni iniziali<\/font><\/p>\n

X0 = (1, 1)<\/i>T<\/i><\/sup>
\n = (Fib(0), Fib(1))<\/i>T<\/i><\/sup><\/font><\/p>\n

e si scrive l\u2019equazione alle
\n ricorrenze in forma matriciale trovando la matrice A tale
\n che<\/font><\/p>\n

(Fib(1), Fib(2))<\/i>T<\/i><\/sup>
\n = X1 = A X0<\/i><\/font><\/p>\n

da cui<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

poich\u00e9 Fib(2) =Fib(1)+Fib(0) e
\n Fib(1) =Fib(1). <\/i><\/font><\/p>\n

Gli autovalori di A <\/i>sono <\/font>\"\"\/ <\/font>e <\/font>1-<\/font>\"\"\/ (<\/font> ove <\/font>\"\"\/ <\/font>\u00e8 il Rapporto Aureo)<\/font>, <\/font>quindi la matrice P<\/i>
\n che diagonalizza A<\/i> \u00e8<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

a questo punto si calcola agevolmente Xn=(Fib(n),
\n Fib(n+1))<\/i>T<\/i><\/sup> <\/i>da<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

Da cui<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

per Fib(0)=0<\/i> e Fib(1)=1<\/i>.<\/font><\/p>\n

Il rapporto tra due elementi successivi
\n converge a <\/font>\"\"\/. Questo fatto si dimostra
\n semplicemente calcolando<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

e passando al limite,<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n\n

Per un po\u2019 di
\n storia sul rapporto aureo propongo il sito:<\/font><\/p>\n

http:\/\/www.geom.umn.edu\/~demo5337\/s97b\/art.htm<\/font><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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