{"id":2154,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2154","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2154\/","title":{"rendered":"Una funzione definita su tutto il campo reale a valori reali se \u00e8 APERTA (cioe manda aperti in aperti) pu\u00f2 essere non continua?"},"content":{"rendered":"

Ringrazio Annalisa per
\n aver posto una questione interessante. <\/font><\/p>\n

La risposta \u00e8 no: una
\n funzione reale di variabile reale che mappi aperti in
\n aperti deve essere continua. <\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Definizioni<\/b><\/font><\/p>\n

Sia \"\"\/intervallo
\n e \"\"\/funzione reale di variabile reale,<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\n

I<\/i> ammette estremo
\n inferiore<\/i>, indicato con x = <\/i>inf <\/i><\/b>I,
\n <\/i>se \"\"\/<\/font><\/p>\n

I<\/i> ammette minorante<\/i>,
\n se \"\"\/<\/font><\/p>\n

I<\/i> ammette estremo
\n superiore<\/i>, indicato con x = <\/i>sup <\/i><\/b>I,
\n <\/i>se \"\"\/<\/font><\/p>\n

I<\/i> ammette maggiorante<\/i>,
\n se \"\"\/<\/font><\/p>\n

I <\/i>\u00e8 detto aperto<\/i>
\n sse I <\/i>non ammette sup <\/i><\/b>o inf<\/i><\/b><\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

f <\/i>\u00e8 aperta
\n sse f(I) <\/i>aperto, per ogni I<\/i> aperto <\/font><\/p>\n

f<\/i> \u00e8 continua
\n in I<\/i> se \"\"\/<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n<\/blockquote>\n

Osservazioni<\/b><\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

1) Il
\n minorante\/maggiorante non appartiene all\u2019intervallo,
\n mentre l\u2019estremo superiore\/inferiore vi appartiene.
\n E\u2019 evidente come un intervallo aperto debba essere
\n privo di uno dei due estremi. Ci\u00f2 significa che
\n l\u2019intervallo [-2,8)<\/i> ha estremo inferiore -2
\n <\/i>e maggiorante 8<\/i>, ed \u00e8 aperto perch\u00e9 privo di
\n estremo superiore.<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

2) Sulla esistenza ed
\n unicit\u00e0 del limite: il limite se esiste deve essere
\n unico, per definizione ci\u00f2 implica la coincidenza dei
\n limiti destro e sinistro, ovvero<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

3) Una funzione
\n discontinua in un punto, quindi, ammette limiti destro e
\n sinistro distinti (discontinuit\u00e0 di salto), oppure
\n ammette limiti coincidenti ma presenta una discontinuit\u00e0
\n a salto<\/i>, o semplicemente non \u00e8 definita nel
\n punto.<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

4) Se f <\/i>\u00e8
\n aperta, allora la sua applicazione ad un aperto qualsiasi
\n deve generare un intervallo privo di uno dei due estremi,
\n viceversa, se esiste un intervallo aperto I <\/i>tale
\n che f(I)<\/i> abbia sup <\/i><\/b>e inf<\/i><\/b>,
\n allora f <\/i>non pu\u00f2 essere aperta. <\/font><\/p>\n

Proposizione<\/b><\/font><\/p>\n

Sia \"\"\/funzione
\n reale di variabile reale,<\/font><\/p>\n

f <\/i>aperta
\n \"\"\/f <\/i>continua<\/font><\/p>\n

Dimostrazione:<\/u><\/font><\/p>\n

Si supponga per assurdo
\n che f,<\/i> essendo aperta per ipotesi, <\/i>non sia
\n continua , allora<\/font><\/p>\n

f <\/i>non
\n continua \"\"\/ \"\"\/, o presenta
\n disc. di salto o non definita in x<\/i>0<\/i><\/sub><\/font><\/p>\n

supponiamo, senza
\n perdita di generalit\u00e0, che f <\/i>sia crescente
\n intorno ad x<\/i>0<\/i><\/sub>, e che il suo
\n limite destro sia ivi pari ad a<\/i> (oss. 2 e 3); si
\n consideri inoltre un intervallo aperto \"\"\/ minorato da x<\/i>0<\/i><\/sub>,
\n largo d<\/i> e chiuso a destra, ovvero:<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

I= <\/i>(x0<\/sub>,<\/i>
\n x0<\/sub>+d <\/i>]<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

applicando f <\/i>ad I<\/i>,
\n otteniamo f(I) = <\/i>[ a, f(x<\/i>0<\/i><\/sub>+d)
\n <\/i>], ovvero f<\/i> mappa un aperto in un intervallo
\n dotato di sup<\/i><\/b> ed inf<\/i><\/b>, quindi
\n chiuso (oss. 1). Ci\u00f2 implica (oss. 4) che f <\/i>non
\n pu\u00f2 essere aperta. <\/font><\/p>\n

Ma f <\/i>\u00e8 aperta
\n per ipotesi, quindi, la tesi segue per contraddizione. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2154","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2154","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2154"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2154\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2154"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2154"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2154"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}