{"id":2152,"date":"2000-05-07T00:00:00","date_gmt":"2000-05-06T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2152","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2152\/","title":{"rendered":"Vorrei gentilmente la dimostrazione della formula di Erone per l’area di un triangolo con la precisazione della sua validit\u00e0 per l’area di un quadrilatero"},"content":{"rendered":"

D: <\/font><\/p>\n

La formula di Erone \u00e8 uno degli esempi pi\u00f9
\n brillanti di applicazione delle propriet\u00e0 geometriche dei triangoli.<\/font><\/p>\n

Formula di Erone:<\/font><\/b><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/b><\/p>\n

ove s \u00e8 il semiperimetro del triangolo e a, b,
\n c le misure dei suoi lati.<\/font><\/p>\n

Alla dimostrazione geometrica, dovuta allo stesso Erone,
\n \u00e8 difficile aggiungere altro.<\/font><\/p>\n

In questa sede, aggiungiamo unicamente qualche commento
\n all\u2019ottimo lavoro presente all\u2019indirizzo <\/font><\/p>\n

http:\/\/galileoandeinstein.physics.virginia.edu\/more_stuff\/Heron.html<\/font><\/a><\/p>\n

che presenta la dimostrazione geometrica “canonica”.<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Si osservi la circonferenza inscritta.<\/font><\/p>\n

Per il teorema delle tangenti da un punto esterno ad una
\n cironferenza, sussistono le seguenti relazioni di uguaglianza tra segmenti:<\/font><\/p>\n

AF=AE<\/font><\/p>\n

BF=BD\t\t[1]<\/font><\/p>\n

CE=CD<\/font><\/p>\n

Inoltre,<\/font><\/p>\n

OF=OE=OD\t[2]<\/font><\/p>\n

perch\u00e9 raggio della circonferenza inscritta.<\/font><\/p>\n

Si osservi che, per le propriet\u00e0 della circonferenza
\n inscritta in un triangolo, i segmenti CO, AO, BO giacciono sulle bisettrici
\n degli angoli DOE, EOF, DOF, per cui sussistono le ulteriori uguaglianze
\n tra angoli:<\/font><\/p>\n

DOC = COE<\/font><\/p>\n

DOB = BOF\t[2a]<\/font><\/p>\n

FOA = EOA<\/font><\/p>\n

Altra propriet\u00e0:<\/font><\/p>\n

AFO, CEO, CDO sono angoli retti \t [3]<\/font><\/p>\n

Ora, siano a, b, c le lunghezze dei tre lati, l\u2019area del
\n triangolo ABC \u00e8 pari al perimetro p=a+b+c per il raggio della circonferenza
\n inscritta:<\/font><\/p>\n

a(ABC) = p OD\t[4]<\/font><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Si estenda ora il lato CB per una porzione di segmento
\n BH=AF.<\/font><\/p>\n

Per le propriet\u00e0 [1], si ottiene<\/font><\/p>\n

CH = p\/2\t[5]<\/font><\/p>\n

che, sostituita alla [4], da<\/font><\/p>\n

a(ABC) 2<\/sup> = CH<\/i>2<\/sup>OD<\/i>2\t<\/sup>[6]<\/font><\/p>\n

L\u2019idea \u00e8 di ricavare la tesi proprio da questa
\n espressione, e lo strumento per farlo \u00e8 la similitudine dei triangoli.<\/font><\/p>\n

Si traccino infatti i segmenti BL e OL in modo che gli
\n angoli CBL, COL siano retti.<\/font><\/p>\n

Applicando le propriet\u00e0 di uguaglianza degli angoli
\n [2a] e tenendo conto degli angoli retti [3] e di quelli ottenuti per costruzione
\n (COL e CBL), si ottiene l\u2019uguaglianza tra angoli<\/font><\/p>\n

AOF = CLB \t[7]<\/font><\/p>\n

(questo passaggio \u00e8 estremamente delicato e lungo,
\n per convincersi della [7] si consiglia di tracciare a matita tutti gli
\n angoli uguali ottenuti per calcolo \u2013 tenendo presente che la somma degli
\n angoli di un triangolo \u00e8 180 gradi \u2013 sfruttando le relazioni note
\n tra gli angoli [2a] e [3] ).<\/font><\/p>\n

La [7] implica, quindi, la similitudine dei triangoli
\n AOF e CLB, retti per la propriet\u00e0 [3].<\/font><\/p>\n

Ricordiamo che due triangoli sono simili se godono delle
\n propriet\u00e0 (ciascuna \u00e8 condizione necessaria e sufficiente
\n e le due si implicano vicendevolmente):<\/font><\/p>\n

    \n
  1. Hanno gli stessi angoli.<\/font><\/li>\n
  2. I loro lati sono proprorzionali.<\/font><\/li>\n<\/ol>\n

    da cui, per costruzione, essendo BH=AF e per la similitudine
    \n dei triangoli AOF e CLB si ottengono le proporzioni che seguono:<\/font><\/p>\n

    BC:BL = AF:FO = BH:OD\t[8]<\/font><\/p>\n

    CB:BH = BL:OD = BK:KD\t[9]<\/font><\/p>\n

    essendo inoltre, per costruzione e per le propriet\u00e0
    \n [1]<\/font><\/p>\n

    CB:BH = CH:HB\t\t[10]<\/font><\/p>\n

    da cui si ottiene, combinando la [10] e la [9]:<\/font><\/p>\n

    CH:HB = BD:DK \t[11]<\/font><\/p>\n

    a questo punto si ottiene la tesi combinando la [8], [9],
    \n [10] e [11] in:<\/font><\/p>\n

    CH2<\/sup>: (CH HB) = (BD DC): (CD
    \n DK)\t[12]<\/font><\/p>\n

    ma, applicando il II teorema di Euclide sul triangolo
    \n COK, retto per costruzione, si ottiene<\/font><\/p>\n

    CD DK = OD2<\/sup>\t[13]<\/font><\/p>\n

    e, quindi:<\/font><\/p>\n

    CH2<\/sup>: (CH HB) = (BD DC):(CD DK)
    \n = (BD DC):OD2<\/sup>\t[14]<\/font><\/p>\n

    A questo punto sfruttiamo la [6] per scrivere la relazione<\/font><\/p>\n

    a(ABC)2<\/sup> = CH2<\/sup> OD2<\/sup>
    \n = CH HB BD DC\t[15]<\/font><\/p>\n

    e, ponendo s = CH=p\/2 (propriet\u00e0 [5] ), otteniamo
    \n il quadrato dell\u2019area del triangolo ABC<\/font><\/p>\n

    a(ABC)2<\/sup> = CH2<\/sup> OD2<\/sup>
    \n = CH HB BD DC = s(s-a)(s-b)(s-c).<\/font><\/p>\n

    Una nota ulteriore:<\/font><\/p>\n

    la formula di Erone pu\u00f2 essere applicata ai quadrilateri
    \n in particolare ed ai poligoni irregolari in generale scomponendoli in
    \n triangoli. Ciascuna area dei triangoli ricavati pu\u00f2 essere, quindi,
    \n ricavata separatamente mediante la formula dimostrata.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    […]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-2152","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2152","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2152"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2152\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2152"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2152"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2152"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}