{"id":2146,"date":"2000-05-07T00:00:00","date_gmt":"2000-05-06T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2146","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2146\/","title":{"rendered":"Studiando i criteri di divisibilit\u00e0, ci siamo accorti che, per sapere se un numero \u00e8 divisibile per 11, oltre al criterio descritto dal nostro libro di testo, si pu\u00f2 anche sottrarre l’ultima cifra al numero formato dalle altre; se si ottiene 0 o un multiplo di 11, il numero \u00e8 divisibile: ad es. 957 \u00e8 divisibile per 11 perch\u00e9 95-7 = 88, che \u00e8 multiplo di 11.\r\nPoi ci siamo accorti che, con piccole variazioni si pu\u00f2 stabilire se un numero \u00e8 divisibile per 13, per 17 o per 19:\r\n– per 13 : si sottrae l’ultima cifra al triplo del numero formato dalle altre : ad es 299 \u00e8 divisibile per 13 perch\u00e9 29*3-9= 78, che \u00e8 multiplo di 13;\r\n– per 17 : si sottrae l’ultima cifra al numero formato dalle altre moltiplicato per 7:\r\n– per 19 : si sottrae l’ultima cifra al numero formato dalle altre moltiplicato per 9.\r\nRegole analoghe possono anche essere applicate per stabilire se un numero \u00e8 divisibile per 10, per 12, per 14, per 15, per 16 e per 18.\r\nVorremmo sapere se quelli che abbiamo “scoperto” possono essere considerati criteri di divisibilit\u00e0 e se ci potete spiegare il perch\u00e9 di questi comportamenti."},"content":{"rendered":"

Complimenti ai giovani lettori !<\/span><\/p>\n

Aver identificato per via empirica una propriet\u00e0 algebrica
\n sicuramente difficile da ricavare per calcolo \u00e8 un lavoro decisamente
\n degno di nota.<\/span><\/p>\n

La propriet\u00e0 identificata dai ragazzi \u00e8 la seguente.<\/span><\/p>\n

Sia x <\/i>un numero intero qualsiasi, ed a, b,
\n c<\/i> interi compresi tra zero e nove, se il numero B = (10a+b)<\/i>
\n \u00e8 divisore di A = (10x+c)<\/i>, vuol dire che esiste il quoziente n<\/i>
\n tale che<\/span><\/p>\n

(10x+c) = n (10a+b)<\/span><\/i><\/font><\/span><\/i><\/font><\/p>\n

<\/span><\/i><\/font>
se ci\u00f2 accade, allora il numero xb-ca<\/i> \u00e8 multiplo
\n di (10a+b)<\/i>.<\/span><\/p>\n

Esiste, quindi, un quoziente m <\/i>tale che:<\/span><\/p>\n

xb-ca <\/span><\/i>=
\n m(10a+b)<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0<\/span><\/i><\/font>
e, cosa pi\u00f9 interessante, m<n<\/i>.<\/span><\/p>\n

Il che vuol dire che il procedimento pu\u00f2 essere reiterato
\n fino a che xb-ca=10a+b<\/i> oppure xb-ca=0<\/i>, nel caso che A<\/i>
\n sia multiplo di B<\/i> o xb-ca<10a+b<\/i> nel caso A<\/i> non
\n sia multiplo di B<\/i>.<\/span><\/p>\n

La dimostrazione algebrica di questo fatto \u00e8 piuttosto
\n artificiosa e non merita particolare attenzione, per via del numero enorme
\n di passaggi che necessita. <\/span><\/p>\n

Il procedimento ricavato \u00e8 una generalizzazione del
\n criterio di divisibilit\u00e0 per 11.<\/span><\/p>\n

Il criterio si basa sulla scomposizione di un numero
\n in somme di prodotti di multipli di 11 pi\u00f9 un fattore resto. La parte
\n somma di prodotti di multipli di 11 \u00e8 sicuramente divisibile per 11, quindi,
\n se anche il resto \u00e8 divisibile, lo \u00e8 tutta la cifra. Il procedimento ricavato
\n dai ragazzi si incentra proprio sul fattore resto, dato dal termine ca\/(10a+b)<\/i>,
\n un rapporto sempre minore di 1. Sottraendo, infatti, il termine ca
\n <\/i>da xb<\/i>, se A <\/i>\u00e8 multiplo di B<\/i> si ottiene di nuovo
\n un multiplo di B<\/i>, ma stavolta minore del precedente.<\/span><\/p>\n

Il procedimento non pu\u00f2 essere definito criterio, nel
\n senso proprio, essendo una propriet\u00e0 algebrica. Un criterio \u00e8, piuttosto,
\n una propriet\u00e0 di semplice verifica. Si osservi che, in termini strettamente
\n computazionali, il procedimento \u00e8 addirittura svantaggioso. Per verificare
\n la divisibilit\u00e0 di due numeri occorrono, infatti, due moltiplicazioni
\n ed una sottrazione.<\/span><\/p>\n

Ancora complimenti per il brillante lavoro svolto.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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