{"id":2145,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2145","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2145\/","title":{"rendered":"Vorrei avere una ‘semplice’ dimostrazione dell’esistenza di insiemi infiniti pi\u00f9 potenti dell’insieme dei numeri naturali. Transfiniti? Cantor?\r\nGrazie. Rita."},"content":{"rendered":"

A Georg Cantor,
\n matematico russo (Pietroburgo, 1845), dobbiamo i pi\u00f9 importanti
\n contributi nel campo delle serie trigonometriche, sui numeri reali come
\n insieme non enumerabile, sulla teoria delle dimensioni e, soprattutto,
\n alcuni fondamentali risultati sulla teoria degli insiemi. Cantor, per <\/p>\n

primo, ha formulato la prima definizione rigorosa di insieme infinito,
\n assieme alla teoria dei numeri transfiniti. <\/font><\/p>\n

Di particolare
\n interesse \u00e8 il risultato sull\u2019esistenza di una gerarchia di
\n infiniti<\/i>, ovvero che l\u2019infinito, inteso come quantit\u00e0 non finita,
\n non \u00e8 univocamente determinato. In altri termini, secondo Cantor,
\n esistono insiemi infiniti pi\u00f9 numerosi di altri. Ad esempio, entrambi
\n gli insiemi dei numeri reali e dei numeri naturali sono infiniti, ma i
\n reali sono “pi\u00f9 infiniti” dei naturali, ovvero l\u2019infinito
\n dei reali si colloca nella scala gerarchica degli infiniti pi\u00f9
\n in alto rispetto all\u2019infinito dei naturali. In questo senso, l\u2019insieme
\n dei numeri reali \u00e8 “pi\u00f9 potente” di quello dei
\n naturali.<\/font><\/p>\n


\n Ma andiamo con ordine.<\/font><\/p>\n

L\u2019idea di
\n “contare l\u2019infinito” nasce dalla necessit\u00e0 di stabilire
\n un modello che determini la cardinalit\u00e0 degli elementi di un insieme
\n infinito. Nella teoria degli insiemi si indica come cardinalit\u00e0
\n <\/i>di un insieme il numero degli elementi ad esso appartenenti. Contare
\n insiemi finiti e fare paragoni di grandezza \u00e8 un\u2019operazione che
\n coinvolge essenzialmente la cardinalit\u00e0 degli insiemi. In questo
\n senso, una squadra di pallavolo \u00e8 pi\u00f9 piccola (vista come
\n insieme di uomini) di una di calcio perch\u00e9 la cardinalit\u00e0
\n di questi due insiemi \u00e8 pari a 6 ed 11, rispettivamente.<\/font><\/p>\n

Ma che cosa
\n vuol dire, formalmente, determinare la cardinalit\u00e0 di un insieme
\n ?<\/font><\/p>\n

Sia {n}
\n = 0,1,2,3, \u2026, n-1<\/i>, l\u2019insieme dei primi n<\/i> numeri naturali.<\/font><\/p>\n

In teoria
\n degli insiemi si dice che un insieme A<\/i> ha cardinalit\u00e0 (indicata
\n con |A|<\/i>) n<\/i> se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli
\n elementi di A<\/i> e gli elementi di {n}<\/i>; ovvero quando \u00e8
\n possibile mappare, mediante una funzione (pi\u00f9 propriamente, applicazione<\/i>)
\n scritta appositamente, ogni elemento di A<\/i> in uno ed un solo elemento
\n di {n}<\/i>.<\/font><\/p>\n

Pi\u00f9
\n formalmente:<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Ricordiamo
\n brevemente che una applicazione<\/i> o funzione<\/i> tra due insiemi
\n \u00e8 un oggetto f<\/i> che mappa elementi di un insieme A in un
\n altro insieme B, e si indica con f : A -> B<\/i>
\n A<\/i> \u00e8 detto Dominio<\/i> e B<\/i> \u00e8 detto Codominio<\/i>
\n della funzione f<\/i>.
\n L’insieme degli elementi distinti in B<\/i> ottenuti applicando f<\/i>
\n ad A<\/i> \u00e8 detto “immagine di A secondo f<\/i>” e si indica
\n con <\/font><\/p>\n

f(A) :=
\n Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A}<\/i><\/font><\/p>\n

f<\/i>
\n \u00e8 detta: <\/font><\/p>\n