{"id":2143,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2143","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2143\/","title":{"rendered":"Data la definizione di punto di accumulazione, ce la ritroviamo anche nella definizione di limite.\r\nIl tutto \u00e8 ricollegabile al fatto che la funzione deve essere continua per prendere in considerazione tali concetti?"},"content":{"rendered":"<p>La domanda \u00e8 un po\u2019 oscura e, probabilmente,<br \/>\n        l\u2019essenza della domanda sta nella sua indefinitezza:<br \/>\n        il lettore non ha chiari i concetti di limite e<br \/>\n        continuit\u00e0.<\/p>\n<p>Riepiloghiamo brevemente le definizioni che<br \/>\n        coinvolgono gli oggetti trattati. <\/p>\n<p><font face=\"Arial\"><b><i>Intervallo<\/i><\/b><\/font><\/p>\n<ul>\n<li><i>I intervallo chiuso <\/i>di centro <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub><i><br \/>\n                <\/i>e raggio <i>d<\/i> : <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"201\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image27.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<li><i>I intervallo aperto <\/i>di centro <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub><i><br \/>\n                <\/i>e raggio <i>d<\/i> : <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"206\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image28.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ul>\n<p>Un intervallo \u00e8 detto <i>chiuso <\/i>se contiene gli<br \/>\n        estremi, <i>aperto<\/i> se non li contiene. Un intervallo<br \/>\n        pu\u00f2 contenere &#8220;buchi&#8221;, ad esempio essendo<br \/>\n        definito privo del proprio punto centrale.<\/p>\n<p><font face=\"Arial\"><b><i>Punto di accumulazione<\/i><\/b><\/font><\/p>\n<ul>\n<li><i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub> \u00e8 <i>punto di<br \/>\n                accumulazione<\/i> se ogni intervallo <i>I<\/i> di<br \/>\n                centro <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub> contiene<br \/>\n                infiniti punti<\/li>\n<\/ul>\n<p>Il concetto di punto di accumulazione \u00e8 uno strumento<br \/>\n        per studiare il comportamento delle funzioni in un<br \/>\n        intorno infinitamente piccolo di un punto. Affermare che<br \/>\n        un punto \u00e8 <i>di accumulazione<\/i> significa assicurarsi<br \/>\n        l\u2019esistenza di tutti i punti infinitamente vicini a<br \/>\n        quel punto e, quindi, di poter operare su di essi.<\/p>\n<p><font face=\"Arial\"><b><i>Limite di funzione<\/i><\/b><\/font><\/p>\n<p>Siano: <\/p>\n<ol>\n<li><i>f <\/i>una funzione dai reali ai reali<\/li>\n<li><i>x<\/i><sub><i>0 <\/i><\/sub>punto di<br \/>\n                accumulazione<\/li>\n<li><i>I(x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub><i>, d)=<\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"216\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image29.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ol>\n<p>intervallo aperto con centro in <i>x<\/i><sub><i>0 <\/i><\/sub>e<br \/>\n        raggio <i>d<\/i>, privo del punto <i>x<\/i><sub><i>0 <\/i><\/sub><\/p>\n<p>Diciamo che <i>f <\/i>tende al limite <i>l <\/i>in <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub>,<br \/>\n        se e solo se<\/p>\n<ul>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"366\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image30.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ul>\n<p>ed indichiamo questa propriet\u00e0 con la notazione: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"84\" height=\"30\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image31.gif\" alt=\"\"\/>.<\/p>\n<p>Ovvero la funzione <i>f<\/i> tende ad <i>l <\/i>in un<br \/>\n        suo punto di accumulazione <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub><br \/>\n        quando, per ogni <font face=\"Symbol\">e<\/font> positivo e<br \/>\n        piccolo a piacere, esiste un <font face=\"Symbol\"><i>d<\/i><\/font><font face=\"Arial\"> <\/font>altrettanto piccolo, ma funzione di <font face=\"Symbol\">e, <\/font>tale che la funzione <i>f <\/i>calcolata<br \/>\n        in punti prelevati da un intervallo di centro <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub><br \/>\n        e raggio <font face=\"Symbol\"><i>d <\/i><\/font>assume<br \/>\n        valori che differiscono da <i>l<\/i> per una quantit\u00e0<br \/>\n        minore di <font face=\"Symbol\">e<\/font>.<\/p>\n<p>I limiti <i>destro <\/i>e <i>sinistro<\/i> vengono<br \/>\n        definiti semplicemente utilizzando rispettivamente gli<br \/>\n        intorni destro e sinistro del punto di accumulazione.<\/p>\n<p>Diciamo che <i>f <\/i>tende al limite <i>l <\/i>in <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub>,<br \/>\n        <i>da destra<\/i> se e solo se<\/p>\n<ul>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"390\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image32.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ul>\n<p>ed indichiamo questa propriet\u00e0 con la notazione (<i>limite<br \/>\n        destro<\/i>): <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"88\" height=\"32\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image33.gif\" alt=\"\"\/>.<\/p>\n<p>Diciamo che <i>f <\/i>tende al limite <i>l <\/i>in <i>x<\/i><sub><i>0<\/i><\/sub>,<br \/>\n        <i>da sinistra<\/i> se e solo se<\/p>\n<ul>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"390\" height=\"24\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image34.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ul>\n<p>ed indichiamo questa propriet\u00e0 con la notazione (<i>limite<br \/>\n        sinistro<\/i>): <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"88\" height=\"32\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image35.gif\" alt=\"\"\/>.<\/p>\n<p>Il limite se esiste deve essere unico, e ci\u00f2 implica<br \/>\n        la coincidenza dei limiti destro e sinistro, ovvero<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"237\" height=\"34\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image36.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><font face=\"Arial\"><b><i>Continuit\u00e0 di funzione<\/i><\/b><\/font><\/p>\n<ul>\n<li><i>f<\/i> \u00e8 <i>continua<\/i> in <i>I<\/i> se <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"181\" height=\"30\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/accu\/Image37.gif\" alt=\"\"\/><\/li>\n<\/ul>\n<p>Una funzione \u00e8 quindi continua in un punto se il<br \/>\n        limite in quel punto, che deve essere di accumulazione<br \/>\n        perch\u00e9 il limite esista, \u00e8 pari al valore della<br \/>\n        funzione nel punto stesso.<\/p>\n<p>Per concludere, il concetto di punto di accumulazione<br \/>\n        \u00e8 utile per definire una propriet\u00e0 senza la quale le<br \/>\n        operazioni di limite e, quindi, lo stesso concetto di<br \/>\n        continuit\u00e0 non avrebbero senso. Il punto di<br \/>\n        accumulazione \u00e8 nato, quindi, per investigare<br \/>\n        l\u2019andamento di funzioni in intorni di punti di<br \/>\n        grandezza infinitamente piccola. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2143","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2143","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2143"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2143\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2143"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2143"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2143"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}