{"id":207,"date":"2003-09-10T00:00:00","date_gmt":"2003-09-09T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"207","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/207\/","title":{"rendered":"&Egrave; vero che la gaussiana non ha primitiva?  Se anche fosse cos&igrave;, esistono metodi analitici per calcolare l&#8217;area che sottende?"},"content":{"rendered":"<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Nel XIX secolo Gauss, studiando la teoria degli errori, si<br \/>\nimbatt\u00e8 nella seguente funzione:<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq001.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0con<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/sigma.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/neq.gif\" alt=\"\"\/>\u00a00 e <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\ncostanti reali arbitrarie, <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">oggi di fondamentale importanza in statistica e in calcolo<br \/>\ndelle probabilit\u00e0, nota come <i>funzione gaussiana<\/i> o <i>funzione<br \/>\nnormale<\/i> o, per la sua particolare forma del grafico (figura 1), <i>curva<br \/>\na campana<\/i> e le cui salienti caratteristiche sono elencate di seguito:<\/p>\n<p><\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\">\u00e8 definita in tutto l&#8217;asse reale;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">\u00e8 sempre positiva;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">\u00e8 crescente per <i>x<\/i>\u00a0&lt;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>, decrescente per <i>x<\/i>\u00a0&gt;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/> e<br \/>\nassume un massimo per <i>x<\/i>\u00a0=\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">tende a 0 sia per <i>x<\/i> che tende a &#8211;<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/infty.gif\" alt=\"\"\/> che per <i>x<\/i> che tende a +<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/infty.gif\" alt=\"\"\/>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">\u00e8 dotata di derivate di ordine comunque elevato,<br \/>\nossia, come dicono i matematici, \u00e8 &#8220;di classe C-infinito&#8221;.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">il grafico della funzione \u00e8 simmetrico rispetto<br \/>\nalla retta <i>x<\/i>\u00a0=\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">possiede due flessi rispettivamente nei punti <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0&#8211;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/sigma.gif\" alt=\"\"\/> e <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0+\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/sigma.gif\" alt=\"\"\/>.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/fig001.gif\" alt=\"\"\/><br \/><font size=\"1\">Figura 1.  Grafico<br \/>\ndi <i>N<\/i>(<i>x<\/i>). <\/font><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Dopo questa breve presentazione della funzione gaussiana,<br \/>\nadesso veniamo al nocciolo della domanda.  Nella teoria delle funzioni a<br \/>\nvariabile reale sussiste un importante teorema di esistenza delle funzioni<br \/>\nprimitive, secondo il quale ogni funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) continua in un<br \/>\nintervallo <i>I<\/i>, ammette primitiva in <i>I<\/i>, ossia una funzione<br \/>\n<i>F<\/i>(<i>x<\/i>), tale che<br \/>\n<i>D\u00a0F<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0=\u00a0<i>f<\/i>(<i>x<\/i>).  Poich\u00e9<br \/>\n<i>N<\/i>(<i>x<\/i>) \u00e8 continua su tutto l&#8217;asse reale, ammette<br \/>\nsicuramente una primitiva su tutto l&#8217;asse reale.  Come moltissimi teoremi di<br \/>\nesistenza che si trovano in matematica, anche questo ha un grave difetto, non<br \/>\nindica in che modo la primitiva pu\u00f2 essere calcolata, quindi ci<br \/>\ntroviamo di fronte alla seguente situazione: sappiamo che esiste una funzione<br \/>\n<i>G<\/i>(<i>x<\/i>), primitiva di <i>N<\/i>(<i>x<\/i>), ma non siamo in grado di<br \/>\ncalcolarla.  In realt\u00e0 ci\u00f2 non \u00e8 del tutto esatto,<br \/>\nperch\u00e8 il modo di calcolare la primitiva in questo teorema di<br \/>\nesistenza viene fornito ma la strada che indica non \u00e8 molto<br \/>\npraticabile, infatti considerata una funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) continua in<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>], la funzione <i>F<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0:=\u00a0<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq002.gif\" alt=\"\"\/> \u00e8 una sua primitiva in<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>]. Questo \u00e8 un integrale definito che si<br \/>\ncalcola usando il famoso teorema di Torricelli, altrimenti detto teorema<br \/>\nfondamentale del calcolo integrale: <i>considerata una funzione<br \/>\nf<\/i>(<i>x<\/i>)<i> continua in <\/i>[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>]<i>, se<br \/>\nF<\/i>(<i>x<\/i>) <i>\u00e8 una sua primitiva, allora <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq003.gif\" alt=\"\"\/>.<\/i>  Come \u00e8 noto, <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq002.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\nrappresenta l&#8217;area sottesa dalla funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) nell&#8217;intervallo<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>].  Per calcolare la primitiva occorre saper<br \/>\ncalcolare l&#8217;integrale definito e per calcolare quest&#8217;ultimo occorre saper<br \/>\ncalcolare la primitiva, accade un po&#8217; come il gatto che si morde la coda.  In<br \/>\neffetti per\u00f2 la primitiva di una funzione si calcola con altri metodi,<br \/>\nad esempio procedendo con l&#8217;integrazione per parti. Comunque eccettuati rari<br \/>\ne semplici casi, non siamo mai in grado di calcolare la primitiva di una data<br \/>\nfunzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>), a differenza di come avviene per la derivata;<br \/>\ndata una funzione siamo quasi sempre in grado di trovare la sua derivata,<br \/>\nusando le varie regole di derivazione. <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Quadratura numerica<\/b><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nei casi in cui non<br \/>\nsiamo in grado di calcolare analiticamente la primitiva della funzione<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>), si deve ricorrere al calcolo dell&#8217;integrale con tecniche<br \/>\ndi approssimazione numerica le quali essenzialmente consistono<br \/>\nnell&#8217;approssimare, nell&#8217;intervallo [<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>], la funzione<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>) con un&#8217;opportuna famiglia di funzioni<br \/>\n{<i>g<sub>n<\/sub><\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0|\u00a0<i>n<\/i>\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/in.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/nat.gif\" alt=\"\"\/>} facilmente integrabili analiticamente<br \/>\nin [<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>] e che al crescere di <i>n<\/i> si &#8220;avvicinano&#8221;<br \/>\nsempre di pi\u00f9 a <i>f<\/i>(<i>x<\/i>), ossia, detto in modo un po&#8217;<br \/>\npi\u00f9 formale, comunque scegliamo un numero <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0&gt;\u00a00, esiste un numero naturale <i>n<\/i>, per<br \/>\nil quale accade che<br \/>\n|<i>f<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>g<sub>n<\/sub><\/i>(<i>x<\/i>)|\u00a0&lt;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/> per ogni <i>x<\/i>\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/in.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>], come illustrato nella figura 2.<br \/>\n<\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/fig002.gif\" alt=\"\"\/><br \/><font size=\"1\">Figura 2.<br \/>\nApprossimazione uniforme. <\/font><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Un esempio di questa categoria di funzioni pu\u00f2 essere<br \/>\nfornita da una opportuna famiglia di polinomi approssimanti<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>), come per esempio i polinomi interpolanti di Lagrange.<br \/>\nProcedendo in questa maniera si vanno a calcolare gli integrali <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq004.gif\" alt=\"\"\/>. A seconda delle propriet\u00e0 di<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>) e di come si sceglie la successione<br \/>\n(<i>g<sub>n<\/sub><\/i>(<i>x<\/i>))<sub><i>n<\/i><\/sub>, la successione (<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq004.gif\" alt=\"\"\/>)<sub><i>n<\/i><\/sub> pu\u00f2 convergere,<br \/>\noppure no, al valore <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/> e se converge lo<br \/>\npu\u00f2 fare pi\u00f9 o meno lentamente. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Tra le innumerevoli funzioni<br \/>\ndi cui non siamo in grado di trovare la primitiva in modo analitico vi \u00e8<br \/>\nanche la funzione <i>N<\/i>(<i>x<\/i>); per l&#8217;importanza fondamentale<br \/>\nche riveste in statistica e nel calcolo delle probabilit\u00e0, una sua primitiva,<br \/>\nche viene indicata con erf(<i>x<\/i>), \u00e8 stata calcolata numericamente<br \/>\nper molti valori della  variabile <i>x<\/i> e tabulata.  Con l&#8217;avvento dei<br \/>\npersonal computer molti software matematici calcolano erf(<i>x<\/i>) con metodi<br \/>\ndi approssimazione numerica. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Pi\u00f9<br \/>\nprecisamente, erf(<i>x<\/i>) \u00e8 la primitiva di <i>N<\/i>(<i>x<\/i>) nel<br \/>\ncaso in cui sia <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/sigma.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0=\u00a01 e <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/mu.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0=\u00a00,<br \/>\nossia nel caso si tratti della cosiddetta <i>funzione normale standard<\/i>.  Da<br \/>\nquesta primitiva, mediante facili trasformazioni, si pu\u00f2 risalire alle<br \/>\nprimitive di tutte le altre funzioni <i>N<\/i>(<i>x<\/i>). <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Metodo di B\u00e9zout<\/b><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Considerata una funzione<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>) continua nell&#8217;intervallo [<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>], scelti<br \/>\n<i>n<\/i>\u00a0+\u00a01 punti equispaziati,<br \/>\n<i>a<\/i>\u00a0=\u00a0<i>x<\/i><sub>0<\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>1<\/sub>,\u00a0&#8230;,\u00a0<i>x<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>b<\/i>,<br \/>\ndetti <i>nodi<\/i> e ponendo<br \/>\n<i>y<sub>i<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>f<\/i>(<i>x<sub>i<\/sub><\/i>), l&#8217;idea<br \/>\n\u00e8 quella di sostituire alla funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) all&#8217;interno di<br \/>\nogni intervallino [<i>x<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>,\u00a0<i>x<sub>i<\/sub><\/i>]<br \/>\nun polinomio di primo grado, ossia una retta o, per meglio dire, con un<br \/>\nsegmento avente per estremi i punti di coordinate<br \/>\n(<i>x<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>,\u00a0<i>y<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>) e<br \/>\n(<i>x<sub>i<\/sub><\/i>,\u00a0<i>y<sub>i<\/sub><\/i>), formando cos\u00ec una<br \/>\nstrana figura che prende il nome di <i>trapezoide<\/i>, la cui forma \u00e8<br \/>\nmostrata in figura 3; l&#8217;unione di questi <i>n<\/i> segmenti rappresenta la<br \/>\nfunzione approssimante <i>g<sub>n<\/sub><\/i>(<i>x<\/i>).<\/p>\n<p><\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/fig003.gif\" alt=\"\"\/><br \/><font size=\"1\">Figura 3.<br \/>\nApprossimazione alla B\u00e9zout. <\/font><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Come si vede dalla figura, si vengono a formare <i>n<\/i><br \/>\ntrapezi e l&#8217;area del generico trapezio <i>i<\/i>-esimo \u00e8<br \/>\n(<i>x<sub>i<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>x<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>)(<i>y<sub>i<\/sub><\/i>\u00a0+\u00a0<i>y<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>)\u00a0\/\u00a02,<br \/>\nquindi l&#8217;area del trapezoide \u00e8 <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq006.gif\" alt=\"\"\/> <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">tenendo presente che<br \/>\n(<i>x<sub>i<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>x<\/i><sub><i>i<\/i>-1<\/sub>)\u00a0=\u00a0(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)\u00a0\/\u00a0<i>n<\/i>.<br \/>\nIndicando con <i>E<sub>n<\/sub><\/i> l&#8217;errore che si commette approssimando<br \/>\n<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/> con <i>S<sub>n<\/sub><\/i> allora si ha che<br \/>\n<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0=\u00a0<i>S<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0+\u00a0<i>E<sub>n<\/sub><\/i><br \/>\ne, se <i>E<sub>n<\/sub><\/i> tende a 0 al crescere di <i>n<\/i>, accade che<br \/>\n<i>S<sub>n<\/sub><\/i> tende a <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>.  In<br \/>\nparticolare, se <i>f<\/i> \u00e8 dotata di derivata seconda continua allora<br \/>\nsi dimostra che<br \/>\n<i>E<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>f&#8221;<\/i>(<i>c<\/i>)\u00a0(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)\u00a0\/\u00a012<i>n<\/i><sup>2<\/sup>,<br \/>\ndove <i>c<\/i> \u00e8 un punto interno all&#8217;intervallo<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>] a noi non noto (se fosse noto sapremmo il valore<br \/>\nesatto dell&#8217;integrale) e indicando con <i>K<\/i><sub>1<\/sub> la<br \/>\nquantit\u00e0<br \/>\n<i>K<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0:=\u00a0<i>f&#8221;<\/i>(<i>c<\/i>)\u00a0(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)\u00a0\/\u00a012,<br \/>\ncostante rispetto a <i>n<\/i>, abbiamo che<br \/>\n<i>E<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>K<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0\/\u00a0<i>n<\/i><sup>2<\/sup>.<br \/>\nIn questo caso quindi <i>E<sub>n<\/sub><\/i> si avvicina a 0 all&#8217;aumentare del<br \/>\nnumero del numero dei nodi, e pertanto <i>S<sub>n<\/sub><\/i> si avvicina a<br \/>\n<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Ovviamente noi possiamo<br \/>\ncalcolare solo un numero finito di questi <i>S<sub>n<\/sub><\/i>, bisogna<br \/>\ntrovare un criterio per fermarci a un opportuno indice. Un sistema per fare<br \/>\nci\u00f2 \u00e8 quello di fissare a priori un numero opportunamente<br \/>\npiccolo <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0&gt;\u00a00 e calcolare le differenze<br \/>\n|<i>S<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S<\/i><sub>0<\/sub>|,<br \/>\n|<i>S<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S<\/i><sub>1<\/sub>|, &#8230;,<br \/>\n|<i>S<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S<\/i><sub><i>k<\/i>-1<\/sub>|, &#8230;  fino a<br \/>\nquando non si giunge a un indice <i>n<\/i> per il quale risulti<br \/>\n|<i>S<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S<\/i><sub><i>n<\/i>-1<\/sub>|\u00a0&lt;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/>; <i>S<sub>n<\/sub><\/i> \u00e8 il valore che viene scelto<br \/>\nper approssimare l&#8217;integrale. <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Metodo di Cavalieri-Simpson <\/b><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Si considerano<br \/>\n2<i>n<\/i>\u00a0+\u00a01 punti equispaziati,<br \/>\n<i>a<\/i>\u00a0=\u00a0<i>x<\/i><sub>0<\/sub>, <i>x<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;,<br \/>\n<i>x<\/i><sub>2<i>n<\/i><\/sub>\u00a0=\u00a0<i>b<\/i> di modo che<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>] risulti suddiviso in <i>n<\/i> intervalli del tipo<br \/>\n[<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i><\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i>+2<\/sub>] con<br \/>\n<i>k<\/i>\u00a0=\u00a00, 1, &#8230;, <i>n<\/i> ossia<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>]\u00a0=\u00a0[<i>x<\/i><sub>0<\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>2<\/sub>]\u00a0<font size=\"1\">U<\/font>\u00a0[<i>x<\/i><sub>2<\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>4<\/sub>]\u00a0<font size=\"1\">U<\/font>\u00a0&#8230;\u00a0<font size=\"1\">U<\/font>\u00a0[<i>x<\/i><sub>2<i>n<\/i>-2<\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>2<i>n<\/i><\/sub>]<br \/>\ne in ognuno di questi si sostituisce la funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) con un<br \/>\npolinomio di secondo grado, ossia con una parabola, che indichiamo con<br \/>\n<i>P<sub>k<\/sub><\/i>, avente l&#8217;asse parallelo all&#8217;asse <i>y<\/i> e passante<br \/>\nper i punti del piano di coordinate<br \/>\n(<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i><\/sub>,\u00a0<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i><\/sub>),<br \/>\n(<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i>+1<\/sub>,\u00a0<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i>+1<\/sub>),<br \/>\n(<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i>+2<\/sub>,\u00a0<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i>+2<\/sub>) e in<br \/>\nquesto caso la funzione approssimante <i>g<sub>n<\/sub><\/i>(<i>x<\/i>) \u00e8<br \/>\nl&#8217;unione di tutti questi polinomi <i>P<sub>k<\/sub><\/i>. Si calcola l&#8217;area<br \/>\n<i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>, somma di tutte le aree sottese dalle parabole<br \/>\n<i>P<sub>k<\/sub><\/i> nell&#8217;intervallo<br \/>\n[<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i><\/sub>,\u00a0<i>x<\/i><sub>2<i>k<\/i>+2<\/sub>]. Ciascuna<br \/>\ndi queste aree vale<br \/>\n(<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i><\/sub>\u00a0+\u00a04<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i>+1<\/sub>\u00a0+\u00a0<i>y<\/i><sub>2<i>k<\/i>+2<\/sub>)(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)\u00a0\/\u00a06<br \/>\ne quindi <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq007.gif\" alt=\"\"\/>, per cui <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0=\u00a0<i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0+\u00a0<i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i><br \/>\ndove <i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> \u00e8 l&#8217;errore e se esso tende a 0 allora<br \/>\n<i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> tende a <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Se <i>f<\/i> \u00e8<br \/>\ndotata di derivata seconda quarta, l&#8217;errore che si commette \u00e8<br \/>\n<i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>f<\/i><sup>(4)<\/sup>(<i>c<\/i>)\u00a0(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)<sup>5<\/sup>\u00a0\/\u00a02880<i>n<\/i><sup>4<\/sup>,<br \/>\ndove <i>c<\/i> \u00e8 un punto interno all&#8217;intervallo<br \/>\n[<i>a<\/i>,\u00a0<i>b<\/i>] a noi non noto, e indicando con<br \/>\n<i>K<\/i><sub>2<\/sub> la quantit\u00e0<br \/>\n<i>K<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0:=\u00a0<i>f<\/i><sup>(4)<\/sup>(<i>c<\/i>)\u00a0(<i>b<\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>)<sup>5<\/sup>\u00a0\/\u00a02880,<br \/>\ncostante rispetto a <i>n<\/i>, si ha allora che<br \/>\n<i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>K<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0\/\u00a0<i>n<\/i><sup>4<\/sup>.<br \/>\nIn questo caso quindi <i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> si avvicina a 0 all&#8217;aumentare del<br \/>\nnumero del numero dei nodi, e pertanto <i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> si avvicina a<br \/>\n<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/>. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Abbiamo visto che, in<br \/>\nopportune ipotesi sulla funzione <i>f<\/i>(<i>x<\/i>), i due procedimenti sono<br \/>\nentrambi convergenti, ma confrontando i due errori: <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq008.gif\" alt=\"\"\/><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">si nota che <i>E&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> tende molto pi\u00f9<br \/>\nvelocemente a zero rispetto a <i>E<sub>n<\/sub><\/i> al crescere di <i>n<\/i>;<br \/>\nquindi se <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) \u00e8 una funzione dotata di derivata quarta<br \/>\ncontinua \u00e8 conveniente usare il procedimento di Cavalieri-Simpson<br \/>\nperch\u00e8 si raggiunge  il risultato voluto in un numero minore di passi<br \/>\nfacendoci risparmiare tempo. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Come nel caso delle<br \/>\nformule di B\u00e9zout, si considera la successione <i>S&#8217;<\/i><sub>1<\/sub>,<br \/>\n<i>S&#8217;<\/i><sub>2<\/sub>, &#8230;, <i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>, &#8230;: se essa converge<br \/>\nallora si fissa un <img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0&gt;\u00a00 molto piccolo, si<br \/>\ncalcolano le differenze<br \/>\n|<i>S&#8217;<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S&#8217;<\/i><sub>0<\/sub>|,<br \/>\n|<i>S&#8217;<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S&#8217;<\/i><sub>1<\/sub>|, &#8230;,<br \/>\n|<i>S&#8217;<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S&#8217;<\/i><sub><i>k<\/i>-1<\/sub>|, &#8230; e si<br \/>\nconsidera come risultato approssimato di <img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq005.gif\" alt=\"\"\/><br \/>\nla quantit\u00e0 <i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i> per la quale risulta<br \/>\n|<i>S&#8217;<sub>n<\/sub><\/i>\u00a0&#8211;\u00a0<i>S&#8217;<\/i><sub><i>n<\/i>-1<\/sub>|\u00a0&lt;\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/epsilon.gif\" alt=\"\"\/>. <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Finora ci siamo occupati degli integrali <i>propri<\/i>,<br \/>\nossia integrali i cui estremi <i>a<\/i> e <i>b<\/i> siano finiti.  Che cosa<br \/>\nsuccede se uno degli estremi \u00e8 infinito, ossia se si vuole calcolare<br \/>\n<img decoding=\"async\" align=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/prgauss\/eq009.gif\" alt=\"\"\/>, dove ad esempio <i>f<\/i>(<i>x<\/i>)<br \/>\npu\u00f2 essere la funzione gaussiana? <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Le formule usate fino a<br \/>\nquesto momento non vanno pi\u00f9 bene, ma si devono considerare formule<br \/>\nalquanto complicate che non \u00e8 il caso neanche da accennare.  Comunque<br \/>\nla cosa importante da sottolineare \u00e8 che in questo caso si sostituisce<br \/>\n<i>f<\/i>(<i>x<\/i>) con una successione di funzioni pi\u00f9 facilmente<br \/>\nintegrabili.<\/p>\n<p><\/font><\/p>\n<p align=\"right\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><font size=\"1\">Impaginato da Gino Favero<\/font><\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":272,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[67],"tags":[],"class_list":["post-207","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-numerica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/207","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/272"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=207"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/207\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=207"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=207"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=207"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}